ГДЗ по Геометрии 9 Класс Углубленный уровень Учебник 📕 Мерзляк, Поляков — Все Части

Геометрия

9 класс углубленный уровень учебник Мерзляк

9 класс

Тип

Гдз, Решебник.

Авторы

Мерзляк А.Г., Поляков В.М.

Год

2019-2022

Издательство

Вентана-граф

Описание

ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 13.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задача

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что \(|AB| = 5\) см, \(|AO| = 6,5\) см. Найдите модули векторов \(BD\) и \(AD\).

Краткий ответ:

Пусть \(AB = 5\) см, \(AO = 6{,}5\) см. Диагональ \(AC\) равна \(2 \cdot AO = 13\) см. Тогда по теореме Пифагора: \(AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}}\), значит \(13 = \sqrt{5^{2} + AD^{2}}\), \(13^{2} = 5^{2} + AD^{2}\), \(169 = 25 + AD^{2}\), \(AD^{2} = 144\), \(AD = 12\) см. Диагональ \(BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) см. Ответ: \(BD = 13\) см, \(AD = 12\) см.

Подробный ответ:

Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\), в котором известно, что длина стороны \(AB = 5\) см, а точка \(O\) — это точка пересечения диагоналей. По свойству прямоугольника, диагонали равны и пересекаются в середине, поэтому точка \(O\) делит каждую диагональ пополам. Нам также известно, что \(AO = 6{,}5\) см, следовательно, вся диагональ \(AC\) в два раза больше, то есть \(AC = 2 \cdot 6{,}5 = 13\) см.

Обозначим неизвестную сторону прямоугольника как \(AD = x\) см. Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику \(ABC\), так как угол \(BAD\) прямой, а \(AC\) — это диагональ. Получаем: \(AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}}\). Подставим известные значения: \(13 = \sqrt{5^{2} + x^{2}}\). Далее возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \(13^{2} = 5^{2} + x^{2}\). Считаем: \(169 = 25 + x^{2}\).

Теперь выразим \(x^{2}\): \(x^{2} = 169 — 25 = 144\). Извлечём корень: \(x = 12\) см. Значит, длина стороны \(AD = 12\) см.

Далее найдём длину диагонали \(BD\), которая также соединяет противоположные вершины прямоугольника. В прямоугольнике диагонали равны, но для полноты решения вычислим её отдельно по формуле Пифагора: \(BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}}\). Подставляем значения: \(BD = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}\). Считаем: \(5^{2} = 25\), \(12^{2} = 144\), \(25 + 144 = 169\), значит \(BD = \sqrt{169} = 13\) см.

Таким образом, мы нашли, что длина стороны \(AD = 12\) см, а длина диагонали \(BD = 13\) см. Ответ: \(BD = 13\) см, \(AD = 12\) см.

Оцени решение