ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 13.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан четырёхугольник ABCD. Известно, что векторы \(AB\) и \(CD\) коллинеарны и \(|AC| = |BD|\). Определите вид четырёхугольника ABCD

Четырехугольник ABCD имеет коллинеарные векторы \(AB\) и \(CD\), и равные диагонали \(|AC| = |BD|\). Это означает:

1. Векторы \(AB\) и \(CD\) параллельны.
2. Диагониали равны, что характерно для прямоугольника и равнобокой трапеции.

Следовательно, четырехугольник ABCD может быть либо прямоугольником, либо равнобокой трапецией. Ответ: прямоугольник или равнобокая трапеция.

Дан четырехугольник ABCD. Условия задачи говорят о том, что векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) коллинеарны, а длины диагоналей равны, то есть \( |AC| = |BD| \). Это важно, поскольку коллинеарность векторов означает, что они направлены в одном направлении или в противоположных направлениях. Если \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) коллинеарны, это указывает на то, что стороны \( AB \) и \( CD \) могут быть параллельны. Таким образом, если мы обозначим координаты точек \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(b, c) \), \( D(d, c) \), то векторы можно выразить как \( \overrightarrow{AB} = (a, 0) \) и \( \overrightarrow{CD} = (d-b, 0) \).

Следующее условие, что \( |AC| = |BD| \), также играет ключевую роль. Длину диагонали \( AC \) можно записать как \( |AC| = \sqrt{(b-0)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{b^2 + c^2} \), а длину диагонали \( BD \) как \( |BD| = \sqrt{(d-a)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{(d-a)^2 + c^2} \). Уравнение, которое мы получаем из условия равенства диагоналей, выглядит следующим образом: \( \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{(d-a)^2 + c^2} \). Квадрат обеих сторон дает нам \( b^2 + c^2 = (d-a)^2 + c^2 \), что упрощается до \( b^2 = (d-a)^2 \).

Теперь рассмотрим два случая. Первый случай: если \( c = 0 \), тогда \( A \) и \( B \) находятся на одной горизонтальной линии, и \( ABCD \) становится прямоугольником, поскольку обе пары противоположных сторон равны. Второй случай: если \( d = b \), это означает, что стороны \( AB \) и \( CD \) параллельны, а \( AD \) и \( BC \) могут быть равны, что соответствует равнобокой трапеции. Таким образом, исходя из условий задачи, четырехугольник ABCD может быть либо прямоугольником, либо равнобокой трапецией. Ответ: прямоугольник или равнобокая трапеция.