ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 13.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике АВС (\(ZC = 90°\)) медиана СМ равна 6 см. Найдите модули векторов \(AB\) и \(AC\), если \(ZA = 30°\).

Длины сторон треугольника \(AB\) и \(AC\) равны \(6\sqrt{3}\) см и \(6\) см соответственно.

Объяснение: Используя свойства медианы и теорему Пифагора, мы выразили \(AC\) через \(AB\) и нашли их длины, учитывая угол \(ZA = 30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с углом \(ZC = 90^\circ\) и медианой \(CM = 6\) см, а также углом \(ZA = 30^\circ\), мы можем найти длины сторон треугольника, используя свойства медианы и тригонометрию.

Первым шагом будет использование свойства медианы. Медиана \(CM\) в прямоугольном треугольнике определяется формулой:

\(CM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 — BC^2}\)

где \(AB\), \(AC\) и \(BC\) — это длины сторон треугольника.

Далее, применим теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике выполняется следующее:

\(AB^2 + AC^2 = BC^2\)

Теперь, учитывая угол \(ZA = 30^\circ\), выразим одну из сторон через другую. Поскольку \(ZA = 30^\circ\), мы можем использовать отношение:

\(\frac{AC}{AB} = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

Таким образом, получаем:

\(AC = \frac{AB}{\sqrt{3}}\)

Обозначим сторону \(AB\) как \(x\). Тогда \(AC\) можно выразить как:

\(AC = \frac{x}{\sqrt{3}}\)

Теперь подставим выражения для \(AC\) и \(AB\) в формулу медианы:

\(6 = \frac{1}{2} \sqrt{2x^2 + 2\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2 — BC^2}\)

Следующим шагом найдем \(BC^2\) с использованием теоремы Пифагора:

\(BC^2 = x^2 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2 = x^2 + \frac{x^2}{3} = \frac{4x^2}{3}\)

Теперь подставим это значение в формулу медианы:

\(6 = \frac{1}{2} \sqrt{2x^2 + 2\left(\frac{x^2}{3}\right) — \frac{4x^2}{3}}\)

Упрощаем уравнение:

\(6 = \frac{1}{2} \sqrt{2x^2 + \frac{2x^2}{3} — \frac{4x^2}{3}}\)

Это можно упростить до:

\(6 = \frac{1}{2} \sqrt{2x^2 — \frac{2x^2}{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{6x^2 — 2x^2}{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{4x^2}{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}\)

Теперь решим уравнение:

\(6 = \frac{x}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = 6\sqrt{3}\)

Теперь найдем длину \(AC\):

\(AC = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\)

Таким образом, длины векторов \(AB\) и \(AC\) равны \(6\sqrt{3}\) см и \(6\) см соответственно.