ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 13.27 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что векторы \(AB\) и \(AC\) коллинеарны. Докажите, что точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой. Верно ли обратное утверждение: если точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой, то векторы \(AB\) и \(AC\) коллинеарны?

Если векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) коллинеарны, то существует скаляр \( k \), такой что \( \vec{AB} = k \cdot \vec{AC} \). Это означает, что точки \( A \), \( B \) и \( C \) лежат на одной прямой.

Обратное утверждение также верно: если точки \( A \), \( B \) и \( C \) лежат на одной прямой, то векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) коллинеарны.

Пусть точки \( A \), \( B \) и \( C \) имеют координаты \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \) и \( C(x_C, y_C) \). Векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) можно выразить следующим образом: \( \vec{AB} = (x_B — x_A, y_B — y_A) \) и \( \vec{AC} = (x_C — x_A, y_C — y_A) \).

Векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) коллинеарны, если существует скаляр \( k \), такой что \( \vec{AB} = k \cdot \vec{AC} \). Это равенство приводит к двум уравнениям: \( x_B — x_A = k(x_C — x_A) \) и \( y_B — y_A = k(y_C — y_A) \).

Из этих уравнений видно, что координаты точек \( B \) и \( C \) можно выразить через координаты точки \( A \). Это означает, что точки \( A \), \( B \) и \( C \) лежат на одной прямой, так как их отношения определяются одним и тем же коэффициентом \( k \).

Теперь рассмотрим обратное утверждение. Если точки \( A \), \( B \) и \( C \) лежат на одной прямой, это значит, что они могут быть связаны линейным уравнением. В этом случае векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) будут направлены вдоль одной и той же линии, что также означает их коллинеарность.

Таким образом, оба утверждения верны: если векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) коллинеарны, то точки \( A \), \( B \) и \( C \) лежат на одной прямой, и наоборот.