ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 13.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для четырёх точек \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) известно, что \(AB = CD\). Докажите, что середины отрезков \(AD\) и \(BC\) совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков \(AD\) и \(BC\) совпадают, то \(AB = CD\).

1. Пусть \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \), \( D(x_4, y_4) \).
2. Длина отрезка \( AB \) равна \( AB = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \).
3. Длина отрезка \( CD \) равна \( CD = \sqrt{(x_4 — x_3)^2 + (y_4 — y_3)^2} \).
4. Если \( AB = CD \), то \( \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} = \sqrt{(x_4 — x_3)^2 + (y_4 — y_3)^2} \).
5. Середина отрезка \( AD \) имеет координаты \( M_{AD} = \left( \frac{x_1 + x_4}{2}, \frac{y_1 + y_4}{2} \right) \).
6. Середина отрезка \( BC \) имеет координаты \( M_{BC} = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) \).
7. Если \( M_{AD} = M_{BC} \), то \( \frac{x_1 + x_4}{2} = \frac{x_2 + x_3}{2} \) и \( \frac{y_1 + y_4}{2} = \frac{y_2 + y_3}{2} \).
8. Из этого следует \( x_1 + x_4 = x_2 + x_3 \) и \( y_1 + y_4 = y_2 + y_3 \).
9. Это приводит к равенству длин: \( AB = CD \).
10. Таким образом, если \( AB = CD \), то середины совпадают, и наоборот.

Пусть точки \( A \), \( B \), \( C \) и \( D \) имеют координаты: \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \), \( D(x_4, y_4) \).

Сначала найдем длины отрезков \( AB \) и \( CD \). Длина отрезка \( AB \) вычисляется по формуле:
\( AB = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \).

Длина отрезка \( CD \) вычисляется аналогично:
\( CD = \sqrt{(x_4 — x_3)^2 + (y_4 — y_3)^2} \).

По условию задачи известно, что \( AB = CD \). Это означает, что:
\( \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} = \sqrt{(x_4 — x_3)^2 + (y_4 — y_3)^2} \).

Теперь найдем середины отрезков \( AD \) и \( BC \). Середина отрезка \( AD \) определяется следующими координатами:
\( M_{AD} = \left( \frac{x_1 + x_4}{2}, \frac{y_1 + y_4}{2} \right) \).

Середина отрезка \( BC \) имеет координаты:
\( M_{BC} = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) \).

Теперь, если \( AB = CD \), необходимо доказать, что середины \( M_{AD} \) и \( M_{BC} \) совпадают. Для этого приравняем координаты средних:
\( \frac{x_1 + x_4}{2} = \frac{x_2 + x_3}{2} \) и \( \frac{y_1 + y_4}{2} = \frac{y_2 + y_3}{2} \).

Из этих уравнений получаем:
\( x_1 + x_4 = x_2 + x_3 \) и \( y_1 + y_4 = y_2 + y_3 \).

Теперь перейдем к обратному утверждению. Предположим, что середины отрезков \( AD \) и \( BC \) совпадают, то есть:
\( M_{AD} = M_{BC} \).

Это означает, что:
\( \frac{x_1 + x_4}{2} = \frac{x_2 + x_3}{2} \) и \( \frac{y_1 + y_4}{2} = \frac{y_2 + y_3}{2} \).

Из этих уравнений следует:
\( x_1 + x_4 = x_2 + x_3 \) и \( y_1 + y_4 = y_2 + y_3 \).

Теперь мы можем выразить координаты \( D \) через координаты \( A \), \( B \) и \( C \). Это приводит к равенству длин:
\( AB = CD \).

Таким образом, мы доказали оба утверждения: если \( AB = CD \), то середины отрезков \( AD \) и \( BC \) совпадают, и наоборот, если середины совпадают, то \( AB = CD \).