ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 13.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(МО = ON\). Докажите, что точка \(O\) середина отрезка \(MN\). Докажите обратное утверждение: если точка \(O\) середина отрезка \(MN\), то \(МО = ON\).

Если \( МО = ON \), то \( O \) является серединой отрезка \( MN \), так как по определению середины отрезка \( MO = ON \) и \( MN = MO + ON \). Если \( O \) — середина отрезка \( MN \), то \( MO = ON \) по определению, так как середина делит отрезок на равные части.

Если \( МО = ON \), то необходимо показать, что точка \( O \) является серединой отрезка \( MN \).

1. Пусть \( M \) и \( N \) — две точки на плоскости. Определим точку \( O \) так, что \( MO = ON \).

2. По определению середины отрезка, точка \( O \) будет серединой отрезка \( MN \), если выполняется равенство \( MO = ON \) и длина отрезка \( MN \) равна сумме \( MO + ON \).

3. Обозначим длину отрезка \( MO \) как \( x \). Тогда \( ON \) также равен \( x \), так как \( MO = ON \).

4. Следовательно, длина отрезка \( MN \) равна \( MN = MO + ON = x + x = 2x \).

5. Таким образом, точка \( O \) делит отрезок \( MN \) на две равные части, что и означает, что \( O \) является серединой отрезка \( MN \).

Теперь докажем обратное утверждение: если точка \( O \) является серединой отрезка \( MN \), то \( МО = ON \).

1. Пусть \( O \) — середина отрезка \( MN \). По определению, если \( O \) является серединой, то отрезок \( MN \) делится на две равные части.

2. Это означает, что \( MO = ON \).

Таким образом, оба утверждения доказаны: если \( МО = ON \), то \( O \) — середина отрезка \( MN \), и наоборот, если \( O \) — середина отрезка \( MN \), то \( МО = ON \).