ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 13.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Начертите треугольник АВС и отметьте точку М середину стороны ВС. От точки М отложите вектор, равный вектору АМ, а от точки В вектор, равный вектору АС. Докажите, что концы построенных векторов совпадают.

В треугольнике ABC точка M является серединой стороны BC, то есть M = (B + C)/2. Вектор AM равен M — A = ((B + C)/2) — A. Отложив от M вектор AM, получаем конец вектора: M + AM = (B + C)/2 + ((B + C)/2) — A = B + C — A. Вектор AC равен C — A, и отложив его от точки B, получаем конец вектора: B + (C — A) = C + B — A. Таким образом, концы векторов, отложенных от M и B, совпадают, так как B + C — A = C + B — A.

В треугольнике ABC точка M является серединой стороны BC, что означает, что M делит отрезок BC пополам. Таким образом, можно записать координаты точки M как \( M = \frac{B + C}{2} \). Теперь рассмотрим вектор AM, который направлен от точки A к точке M. Вектор AM можно выразить следующим образом: \( \vec{AM} = M — A = \left(\frac{B + C}{2}\right) — A \). Это позволяет нам понять, какова длина и направление вектора, который мы будем откладывать от точки M.

Теперь, отложив вектор AM от точки M, мы можем найти конечную точку этого вектора. Конец вектора будет равен \( M + \vec{AM} \). Подставляя выражение для M и AM, получаем: \( M + \vec{AM} = \frac{B + C}{2} + \left(\frac{B + C}{2} — A\right) \). Упрощая это выражение, мы получаем: \( \frac{B + C}{2} + \frac{B + C}{2} — A = B + C — A \). Таким образом, конечная точка вектора, отложенного от точки M, будет равна \( B + C — A \).

Теперь рассмотрим вектор AC, который направлен от точки A к точке C. Вектор AC можно записать как \( \vec{AC} = C — A \). Если мы отложим этот вектор от точки B, то конечная точка будет равна \( B + \vec{AC} = B + (C — A) \). Упрощая это выражение, получаем: \( B + C — A \). Заметим, что конечные точки векторов, отложенных от M и от B, совпадают, так как обе конечные точки равны \( B + C — A \). Это завершает доказательство того, что концы построенных векторов совпадают.