ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 13.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Начертите треугольник АВС. От точек В и С отложите векторы, соответственно равные векторам АС и АВ. Докажите, что концы построенных векторов совпадают.
Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим вектор AC как \( \vec{AC} = \vec{C} — \vec{A} \) и вектор AB как \( \vec{AB} = \vec{B} — \vec{A} \). Теперь отложим вектор AC от точки B. Получаем новую точку B’: \( \vec{B’} = \vec{B} + \vec{AC} = \vec{B} + (\vec{C} — \vec{A}) = \vec{B} + \vec{C} — \vec{A} \). Отложим вектор AB от точки C, получаем точку C’: \( \vec{C’} = \vec{C} + \vec{AB} = \vec{C} + (\vec{B} — \vec{A}) = \vec{C} + \vec{B} — \vec{A} \). Сравниваем B’ и C’: \( \vec{B’} = \vec{B} + \vec{C} — \vec{A} \) и \( \vec{C’} = \vec{C} + \vec{B} — \vec{A} \). Поскольку сложение векторов коммутативно, то \( \vec{B’} = \vec{C’} \). Таким образом, концы построенных векторов совпадают.
Рассмотрим треугольник ABC, где A, B и C – его вершины. Мы будем использовать векторы для анализа геометрических свойств этого треугольника. Обозначим вектор AC как \( \vec{AC} = \vec{C} — \vec{A} \) и вектор AB как \( \vec{AB} = \vec{B} — \vec{A} \). Теперь, чтобы построить новые векторы, отложим вектор AC от точки B. Это означает, что мы добавляем вектор \( \vec{AC} \) к координатам точки B, что дает нам новую точку B’, вычисляемую как \( \vec{B’} = \vec{B} + \vec{AC} = \vec{B} + (\vec{C} — \vec{A}) = \vec{B} + \vec{C} — \vec{A} \).
Аналогично, отложим вектор AB от точки C. Это также требует добавления вектора \( \vec{AB} \) к координатам точки C, что позволяет получить новую точку C’, вычисляемую как \( \vec{C’} = \vec{C} + \vec{AB} = \vec{C} + (\vec{B} — \vec{A}) = \vec{C} + \vec{B} — \vec{A} \). Теперь у нас есть две новые точки: B’ и C’. Чтобы показать, что эти точки совпадают, нам нужно сравнить их координаты.
Сравнивая выражения для B’ и C’, мы видим, что обе точки имеют одинаковую формулу: \( \vec{B’} = \vec{B} + \vec{C} — \vec{A} \) и \( \vec{C’} = \vec{C} + \vec{B} — \vec{A} \). Поскольку сложение векторов коммутативно, то \( \vec{B} + \vec{C} — \vec{A} = \vec{C} + \vec{B} — \vec{A} \). Это означает, что \( \vec{B’} = \vec{C’} \), следовательно, концы построенных векторов совпадают. Таким образом, мы доказали, что концы векторов, отложенных от точек B и C, совпадают.
