ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 14.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (1; 5), В (2; 3), C (-3; 1), D (-4; 7) является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, проверим, равны ли длины противоположных сторон.

Вершины:
\( A(1, 5) \), \( B(2, 3) \), \( C(-3, 1) \), \( D(-4, 7) \).

Длину отрезка \( AB \) находим так:
\( AB = \sqrt{(2 — 1)^2 + (3 — 5)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \).

Длину отрезка \( CD \) находим так:
\( CD = \sqrt{(-4 — (-3))^2 + (7 — 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \).

Длину отрезка \( BC \) находим так:
\( BC = \sqrt{(-3 — 2)^2 + (1 — 3)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \).

Длину отрезка \( DA \) находим так:
\( DA = \sqrt{(1 — (-4))^2 + (5 — 7)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \).

Сравниваем длины:
\( AB = \sqrt{5} \), \( CD = \sqrt{37} \), \( BC = \sqrt{29} \), \( DA = \sqrt{29} \).

Так как \( BC = DA \), но \( AB \neq CD \), ABCD не является параллелограммом.

Для доказательства, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны равны по длине.

Вершины четырёхугольника:
\( A(1, 5) \), \( B(2, 3) \), \( C(-3, 1) \), \( D(-4, 7) \).

Сначала вычислим длину отрезка \( AB \):
\(
AB = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2} = \sqrt{(2 — 1)^2 + (3 — 5)^2} =\)
\(= \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.
\)

Теперь вычислим длину отрезка \( CD \):
\(
CD = \sqrt{(x_D — x_C)^2 + (y_D — y_C)^2} = \sqrt{(-4 — (-3))^2 + (7 — 1)^2} = \)
\(=\sqrt{(-1)^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}.
\)

Теперь найдём длину отрезка \( BC \):
\(
BC = \sqrt{(x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2} = \sqrt{(-3 — 2)^2 + (1 — 3)^2} = \)
\(=\sqrt{(-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}.
\)

Теперь вычислим длину отрезка \( DA \):
\(
DA = \sqrt{(x_A — x_D)^2 + (y_A — y_D)^2} = \sqrt{(1 — (-4))^2 + (5 — 7)^2} = \)
\(=\sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}.
\)

Теперь сравним длины противоположных сторон:
\( AB = \sqrt{5} \) и \( CD = \sqrt{37} \) не равны, а \( BC = \sqrt{29} \) и \( DA = \sqrt{29} \) равны.

Поскольку \( AB \neq CD \), а \( BC = DA \), мы можем заключить, что ABCD не является параллелограммом.