ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 14.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезок ВМ медиана треугольника с вершинами А (3; 5), В (2; 3), С (-1; 7). Найдите координаты и модуль вектора ВМ.

Координаты точки \( M \) определяются как:

\( M\left( \frac{3 + 1}{2}; \frac{-5 + 3}{2} \right) = M(2; -1) \).

Координаты точки \( B \) обозначим как \( B(x; -3) \). Вектор \( \vec{BM} \) вычисляется по формуле:

\( \vec{BM} = M — B = (2 — x; -1 — (-3)) = (2 — x; 2) \).

Найдем модуль вектора \( \vec{BM} \):

\( |\vec{BM}| = \sqrt{(2 — x)^2 + 2^2} = \sqrt{(2 — x)^2 + 4} \).

Приравниваем модуль к \( \sqrt{17} \):

\( \sqrt{(2 — x)^2 + 4} = \sqrt{17} \).
Координаты точки \( M \): \( (2; -1) \)
Координаты вектора \( \vec{BM} \): \( (2 — x; 2) \)
Модуль вектора \( \vec{BM} \): \( \sqrt{17} \)

Координаты точки \( M \) можно найти следующим образом:

\( M\left( \frac{3 + 1}{2}; \frac{-5 + 3}{2} \right) = M\left( \frac{4}{2}; \frac{-2}{2} \right) = M(2; -1) \).

Теперь, имея координаты точки \( B(x; -3) \) и точки \( M(2; -1) \), найдем вектор \( \overline{BM} \):

\( \vec{BM} = M — B = (2 — x; -1 — (-3)) = (2 — x; 2) \).

Теперь найдем модуль вектора \( \vec{BM} \):

\( |\vec{BM}| = \sqrt{(2 — x)^2 + 2^2} = \sqrt{(2 — x)^2 + 4} \).

Для того чтобы модуль вектора равнялся \( \sqrt{17} \), приравняем:

\( \sqrt{(2 — x)^2 + 4} = \sqrt{17} \).

Квадратируем обе стороны:

\( (2 — x)^2 + 4 = 17 \).

Решаем уравнение:

\( (2 — x)^2 = 17 — 4 \)

\( (2 — x)^2 = 13 \).

Теперь извлекаем корень:

\( 2 — x = \pm \sqrt{13} \).

Решаем для \( x \):

1. \( 2 — x = \sqrt{13} \)
\( x = 2 — \sqrt{13} \).

2. \( 2 — x = -\sqrt{13} \)
\( x = 2 + \sqrt{13} \).

Таким образом, возможные значения \( x \):

\( x = 2 — \sqrt{13} \) или \( x = 2 + \sqrt{13} \).

Координаты точки \( M \): \( (2; -1) \)
Координаты вектора \( \vec{BM} \): \( (2 — x; 2) \)
Модуль вектора \( \vec{BM} \): \( \sqrt{17} \)