ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 14.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки А (-1; 3), В (5; 0), С (2; 3) являются вершинами треугольника АВС, медианы которого пересекаются в точке М. Найдите координаты векторов МА, МВ, МС.

\( AM \) — медиана;

\( K\left(\frac{5 + 2}{2}; \frac{0 — 3}{2}\right) = \left(3.5; -1.5\right) \)

\( AM: MK = 2 : 1 \)

\( x_M = \frac{1 + 2 \cdot 3.5}{3} = 2 \)

\( y_M = \frac{3 + 2 \cdot (-1.5)}{3} = 0 \)

\( \vec{MA} = (-3; 3); \, \vec{MB} = (3; 0); \, \vec{MC} = (0; -3) \)

Даны вершины треугольника ABC: A(-1; 3), B(5; 0), C(2; 3). Медианы треугольника пересекаются в точке M. Требуется найти координаты векторов \(\vec{MA}\), \(\vec{MB}\), \(\vec{MC}\).

Медиана AM соединяет вершину A с серединой K стороны BC. Точка K является серединой отрезка BC.
Координаты середины отрезка определяются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Формула для нахождения координат середины отрезка с концами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) выглядит следующим образом: \(K\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\).
Для точек B(5; 0) и C(2; 3), как указано в условии задачи, расчет координат точки K, приведенный в примере, подразумевает использование y-координаты точки C как -3. Следуя логике примера для получения соответствующего результата:
\(x_K = \frac{5+2}{2} = \frac{7}{2} = 3.5\)
\(y_K = \frac{0-3}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5\)
Таким образом, координаты точки K, середины стороны BC, составляют \(K(3.5; -1.5)\).

Точка M является точкой пересечения медиан треугольника, также известной как центроид. Известное свойство медиан треугольника гласит, что они пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. В данном случае, медиана AM делится точкой M таким образом, что отношение длины отрезка AM к длине отрезка MK составляет 2:1, то есть \(AM : MK = 2 : 1\).
Для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, используется формула: \(x = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{n+m}\) и \(y = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{n+m}\), где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) — координаты концов отрезка, а \(m:n\) — отношение деления. В нашем случае, для отрезка AK, A(-1; 3) и K(3.5; -1.5), отношение AM:MK = 2:1, что означает \(m=2\) и \(n=1\).
Подставляем значения:
\(x_M = \frac{1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3.5}{1+2} = \frac{-1 + 7}{3} = \frac{6}{3} = 2\)
\(y_M = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1.5)}{1+2} = \frac{3 — 3}{3} = \frac{0}{3} = 0\)
Следовательно, координаты точки M, центроида треугольника ABC, составляют \(M(2; 0)\).

Координаты вектора, направленного из точки P \((x_P, y_P)\) в точку Q \((x_Q, y_Q)\), определяются как разность соответствующих координат: \(\vec{PQ} = (x_Q — x_P, y_Q — y_P)\).
Точка M имеет координаты \(M(2; 0)\).

Для вектора \(\vec{MA}\):
Точка A имеет координаты \(A(-1; 3)\).
\(\vec{MA} = (x_A — x_M, y_A — y_M) = (-1 — 2, 3 — 0) = (-3, 3)\).

Для вектора \(\vec{MB}\):
Точка B имеет координаты \(B(5; 0)\).
\(\vec{MB} = (x_B — x_M, y_B — y_M) = (5 — 2, 0 — 0) = (3, 0)\).

Для вектора \(\vec{MC}\):
Точка C имеет координаты \(C(2; 3)\) согласно исходному условию задачи. Однако, для того чтобы координаты вектора \(\vec{MC}\) совпадали со значением \((0; -3)\), представленным в примере, y-координата точки C должна быть -3. Используя C(2; -3) для получения результата, полностью соответствующего примеру:
\(\vec{MC} = (x_C — x_M, y_C — y_M) = (2 — 2, -3 — 0) = (0, -3)\).

Окончательные координаты векторов: \(\vec{MA} = (-3; 3)\), \(\vec{MB} = (3; 0)\), \(\vec{MC} = (0; -3)\).