ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 14.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Модуль вектора а равен 10. Его первая координата на 2 больше второй. Найдите координаты вектора а.

Пусть вектор \(\overrightarrow{a}\) имеет координаты \((x, y)\). Из условия задачи известно, что модуль вектора равен 10, что можно записать как \(\sqrt{x^2 + y^2} = 10\). Возведем обе стороны в квадрат, получая \(x^2 + y^2 = 100\). Также известно, что первая координата на 2 больше второй, что записывается как \(x = y + 2\). Подставим это выражение в уравнение модуля: \((y + 2)^2 + y^2 = 100\). Раскрыв скобки, получаем \(y^2 + 4y + 4 + y^2 = 100\), что упрощается до \(2y^2 + 4y — 96 = 0\). Разделим на 2: \(y^2 + 2y — 48 = 0\). Решим квадратное уравнение по формуле корней: \(y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1}\), что дает два значения \(y_1 = 6\) и \(y_2 = -8\). Найдем соответствующие \(x\): для \(y_1 = 6\) получаем \(x_1 = 8\), для \(y_2 = -8\) получаем \(x_2 = -6\). Таким образом, векторы: \(\overrightarrow{a}(8; 6)\) и \(\overrightarrow{a}(-6; -8)\).

Пусть вектор \(\overrightarrow{a}\) имеет координаты \((x, y)\). Из условия задачи известно, что модуль вектора равен 10. Это можно записать в виде уравнения:

\(\sqrt{x^2 + y^2} = 10\).

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны в квадрат:

\(x^2 + y^2 = 10^2\),

что упрощается до

\(x^2 + y^2 = 100\).

Это уравнение представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом 10.

Следующее условие задачи гласит, что первая координата вектора на 2 больше второй. Это можно записать как

\(x = y + 2\).

Теперь мы можем подставить это выражение для \(x\) в уравнение окружности. Подставим \(x\) в уравнение \(x^2 + y^2 = 100\):

\((y + 2)^2 + y^2 = 100\).

Раскроем скобки в уравнении:

\(y^2 + 4y + 4 + y^2 = 100\).

Соберем подобные члены:

\(2y^2 + 4y + 4 = 100\).

Теперь приведем уравнение к стандартному виду, вычитая 100 из обеих сторон:

\(2y^2 + 4y + 4 — 100 = 0\),

что упрощается до

\(2y^2 + 4y — 96 = 0\).

Разделим все коэффициенты на 2, чтобы упростить уравнение:

\(y^2 + 2y — 48 = 0\).

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу корней:

\(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}\),

где \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -48\). Подставим значения в формулу:

\(y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2}\).

Теперь вычислим корень:

\(\sqrt{196} = 14\).

Таким образом, получаем два возможных значения для \(y\):

\(y_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6\) и \(y_2 = \frac{-2 — 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8\).

Теперь найдем соответствующие значения для \(x\). Для первого значения \(y_1 = 6\):

\(x_1 = 6 + 2 = 8\).

Для второго значения \(y_2 = -8\):

\(x_2 = -8 + 2 = -6\).

Таким образом, мы находим два возможных вектора, которые соответствуют условиям задачи:

\(\overrightarrow{a}(8; 6)\) и \(\overrightarrow{a}(-6; -8)\).