ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 14.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки А (1; 2) и D (1; 6) вершины прямоугольника ABCD. Модуль вектора АС равен 17. Найдите координаты вершин В и С

Координаты вершин \(B\) и \(C\) прямоугольника \(ABCD\) могут быть:

1. \(B(16, 2)\), \(C(16, -6)\)
2. \(B(-14, 2)\), \(C(-14, -6)\)

Точки \(A(1, 2)\) и \(D(1, 6)\) являются вершинами прямоугольника \(ABCD\). Поскольку точки \(A\) и \(D\) имеют одинаковую абсциссу, это означает, что они расположены на вертикальной линии, и, следовательно, стороны \(AB\) и \(CD\) будут параллельны оси \(y\). Таким образом, координаты точек \(B\) и \(C\) будут иметь ту же абсциссу, что и точки \(A\) и \(D\), но различаться по ординате. Это дает нам возможность записать координаты \(B\) как \(B(x_B, y_B)\) и \(C(x_C, y_C)\), где \(x_B = x_C\).

Далее, согласно условию задачи, модуль вектора \(AC\) равен 17. Модуль вектора \(AC\) можно выразить через координаты точек \(A\) и \(C\) с использованием формулы для расстояния между двумя точками. Формула выглядит следующим образом: \( |AC| = \sqrt{(x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2} \). Подставляя координаты точки \(A(1, 2)\), мы получаем уравнение: \( \sqrt{(x_C — 1)^2 + (y_C — 2)^2} = 17 \). Возводя обе стороны в квадрат, получаем уравнение: \( (x_C — 1)^2 + (y_C — 2)^2 = 289 \).

Теперь, учитывая, что точка \(C\) будет находиться на одной вертикали с точкой \(B\), мы можем выразить \(y_C\) через \(y_B\). Поскольку \(AD = 4\), это означает, что разница в ординатах между \(B\) и \(C\) равна 4. Таким образом, можно записать \(y_C = y_B — 4\). Подставляя это значение в уравнение для модуля вектора \(AC\), мы можем найти возможные координаты точек \(B\) и \(C\). Решая уравнение, мы находим два возможных набора координат: \(B(16, 2)\) и \(C(16, -6)\) или \(B(-14, 2)\) и \(C(-14, -6)\).