ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 14.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

От точки А (4; -3) отложен вектор m (-1; 8). Найдите координаты конца вектора.

Координаты точки \( A(4, -3) \) и вектора \( m(-1, 8) \).

Для нахождения координат конца вектора \( B \) используем формулы:

\( x_B = x_A + x_m = 4 + (-1) = 3 \)

\( y_B = y_A + y_m = -3 + 8 = 5 \)

Ответ: \( (3, 5) \)

В декартовой системе координат каждая точка определяется парой чисел, называемых ее координатами, которые указывают ее положение относительно осей. Первая координата, \(x\), показывает горизонтальное смещение от начала координат, а вторая, \(y\), — вертикальное. В данной задаче нам дана начальная точка \(A\), имеющая координаты \(x_A = 4\) и \(y_A = -3\). Это означает, что точка \(A\) расположена на 4 единицы вправо от вертикальной оси и на 3 единицы вниз от горизонтальной оси. Также нам задан вектор \(m\), представленный своими компонентами \((-1, 8)\). Компоненты вектора описывают его «смещение»: первый компонент, \(-1\), указывает на изменение по горизонтали (1 единица влево), а второй, \(8\), — на изменение по вертикали (8 единиц вверх). Когда говорится, что вектор «отложен» от точки \(A\), это означает, что начальная точка вектора совпадает с точкой \(A\), и мы ищем конечную точку этого вектора, обозначим ее как \(B\).

Для того чтобы определить координаты конечной точки \(B\), необходимо учесть, что вектор \(m\) описывает смещение от точки \(A\). Это смещение происходит по каждой координатной оси независимо. Таким образом, новая \(x\)-координата точки \(B\), которую мы обозначим как \(x_B\), будет найдена путем алгебраического сложения \(x\)-координаты начальной точки \(A\) и \(x\)-компоненты вектора \(m\). Формально это выражается как \(x_B = x_A + x_m\). Аналогичным образом, новая \(y\)-координата точки \(B\), обозначенная как \(y_B\), будет получена путем сложения \(y\)-координаты начальной точки \(A\) и \(y\)-компоненты вектора \(m\). Это записывается как \(y_B = y_A + y_m\). Этот принцип сложения координат базируется на фундаментальных правилах векторной алгебры, где перемещение, описываемое вектором, добавляется к исходному положению, чтобы получить конечное положение.

Применяя эти принципы к заданным числовым значениям, мы можем последовательно вычислить координаты конечной точки \(B\). Для \(x\)-координаты точки \(B\) мы подставляем значения \(x_A = 4\) и \(x_m = -1\) в формулу \(x_B = x_A + x_m\). Получаем \(x_B = 4 + (-1)\). Поскольку сложение с отрицательным числом эквивалентно вычитанию, это выражение упрощается до \(x_B = 4 — 1\), что дает нам \(x_B = 3\). Для \(y\)-координаты точки \(B\) мы подставляем значения \(y_A = -3\) и \(y_m = 8\) в формулу \(y_B = y_A + y_m\). Получаем \(y_B = -3 + 8\). Выполняя это сложение, мы находим, что \(y_B = 5\). Таким образом, после выполнения всех вычислений, мы определяем, что конечная точка вектора \(m\), отложенного от точки \(A\), имеет координаты \((3, 5)\). Эта пара чисел точно указывает местоположение точки \(B\) в декартовой плоскости.