ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Начертите треугольник АВС. Постройте такую точку Х, чтобы:

1) \(AX = BX + XC\);

2) \(BX = XC XA\).

Для нахождения точки \(X\) в треугольнике \(ABC\), которая удовлетворяет условиям \(AX = BX + XC\) и \(BX = XC + XA\), можно воспользоваться следующим решением:

1. Постройте треугольник \(ABC\).
2. Найдите точку \(X\) на стороне \(BC\) так, чтобы выполнялись условия:
— \(AX = BX + XC\)
— \(BX = XC + XA\)

Решение будет следующим: точка \(X\) должна находиться на биссектрисе угла \(A\), деля отрезок \(BC\) в отношении \(AB : AC\).

1. Начертите треугольник \(ABC\) с вершинами \(A\), \(B\) и \(C\).

2. Обозначьте длины сторон:
— \(AB = c\)
— \(AC = b\)
— \(BC = a\)

3. По условию \(AX = BX + XC\) можно выразить \(AX\):
\(AX = BX + XC\).

4. По условию \(BX = XC + XA\) можно выразить \(BX\):
\(BX = XC + XA\).

5. Подставим \(AX\) из первого уравнения во второе:
\(BX = XC + (BX — XC)\).

6. Упростим уравнение:
\(BX = BX\), что верно для любой точки \(X\).

7. Теперь используем свойства треугольника. Рассмотрим точки \(X\) на стороне \(BC\). Обозначим \(BX = m\) и \(XC = n\).

8. Из первого условия имеем:
\(AX = m + n\).

9. Из второго условия получаем:
\(m = n + AX\).

10. Подставим \(AX\) из первого уравнения во второе:
\(m = n + (m + n)\).

11. Упростим:
\(m = 2n\).

12. Это означает, что \(BX\) в два раза больше \(XC\), то есть:
\(BX : XC = 2 : 1\).

13. Таким образом, точка \(X\) делит отрезок \(BC\) в отношении \(2 : 1\).

14. Для нахождения координат точки \(X\) используйте формулу деления отрезка:
\(X = \left( \frac{2C + B}{3} \right)\).

15. Таким образом, точка \(X\) находится на отрезке \(BC\) и удовлетворяет обоим условиям.