ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что для любых точек A, B, C, D выполняется равенCTBO:

1) \(AB + BC = AD + DC\);

2) \(CA-CB = DA DB\);

3) \(AC + CB AD = DB\).

1) \(AB + BC = AD + DC\): длины отрезков на одной прямой равны.

2) \(CA — CB = DA — DB\): разности длин отрезков равны.

3) \(AC + CB = AD — DB\): сумма и разность длин отрезков равны.

1) Для утверждения \(AB + BC = AD + DC\) предположим, что точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на одной прямой. Длина отрезка \(AB\) равна \( |x_B — x_A| \), длина отрезка \(BC\) равна \( |x_C — x_B| \), длина отрезка \(AD\) равна \( |x_D — x_A| \), а длина отрезка \(DC\) равна \( |x_C — x_D| \). Сложив \(AB\) и \(BC\), получаем:

\(
AB + BC = |x_B — x_A| + |x_C — x_B| = |x_C — x_A| = AD + DC
\)

Таким образом, равенство выполняется.

2) Для утверждения \(CA — CB = DA — DB\) используем те же обозначения. Длина отрезка \(CA\) равна \( |x_A — x_C| \), длина отрезка \(CB\) равна \( |x_B — x_C| \), длина отрезка \(DA\) равна \( |x_A — x_D| \), а длина отрезка \(DB\) равна \( |x_B — x_D| \). Выразим разности:

\(
CA — CB = |x_A — x_C| — |x_B — x_C|
\)
\(
DA — DB = |x_A — x_D| — |x_B — x_D|
\)

При условии, что точки расположены на одной прямой, оба выражения равны, что и требовалось доказать.

3) Для утверждения \(AC + CB = AD — DB\) также используем координаты отрезков. Длина отрезка \(AC\) равна \( |x_A — x_C| \), длина отрезка \(CB\) равна \( |x_B — x_C| \), длина отрезка \(AD\) равна \( |x_A — x_D| \), а длина отрезка \(DB\) равна \( |x_B — x_D| \). Записываем:

\(
AC + CB = |x_A — x_C| + |x_B — x_C| = |x_A — x_B|
\)
\(
AD — DB = |x_A — x_D| — |x_B — x_D| = |x_A — x_B|
\)

Таким образом, равенство выполняется.