ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки М и N середины соответственно сторон ВА и ВС треугольника АВС. Выразите векторы AM, NC, MN, NB через векторы BM = m и BN = n.

\(\vec{AM} = -\frac{1}{2} \vec{m}\)

\(\vec{NC} = \frac{1}{2} \vec{n}\)

\(\vec{MN} = \frac{1}{2} \vec{n} + \frac{1}{2} \vec{m}\)

\(\vec{NB} = \frac{1}{2} \vec{n} — \vec{m}\)

Точки \( M \) и \( N \) являются серединами соответственно сторон \( BA \) и \( BC \) треугольника \( ABC \). Для начала определим векторы \( \vec{AM} \), \( \vec{NC} \), \( \vec{MN} \) и \( \vec{NB} \) через векторы \( \vec{BM} = \vec{m} \) и \( \vec{BN} = \vec{n} \).

1. Вектор \( \vec{AC} \) можно выразить как \( \vec{AC} = -\vec{m} \) и вектор \( \vec{BC} \) как \( \vec{BC} = \vec{n} \).

2. Вектор \( \vec{AM} \) равен половине вектора \( \vec{AC} \):
\(
\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AC} = \frac{1}{2}(-\vec{m}) = -\frac{1}{2} \vec{m}
\)

3. Вектор \( \vec{BN} \) также равен половине вектора \( \vec{BC} \):
\(
\vec{BN} = \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{n}
\)

4. Теперь найдем вектор \( \vec{NC} \):
\(
\vec{NC} = \vec{BC} — \vec{BN} = \vec{n} — \frac{1}{2} \vec{n} = \frac{1}{2} \vec{n}
\)

5. Вектор \( \vec{MB} \) можно записать как:
\(
\vec{MB} = \vec{AM} + \vec{BM} = \left(-\frac{1}{2} \vec{m}\right) + \vec{m} = \frac{1}{2} \vec{m}
\)

6. Вектор \( \vec{MN} \) можно выразить через векторы \( \vec{NC} \) и \( \vec{MB} \):
\(
\vec{MN} = \vec{NC} — \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{n} — \left(-\frac{1}{2} \vec{m}\right) = \frac{1}{2} \vec{n} + \frac{1}{2} \vec{m}
\)

7. Вектор \( \vec{NB} \) можно найти следующим образом:
\(
\vec{NB} = \vec{BN} — \vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{n} — \vec{m}
\)

Таким образом, мы выразили все необходимые векторы через \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \).