ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что \(ОА + ОВ + ОС + OD = 0\).

\( OA + OB + OC + OD = \frac{\vec{A} — \vec{C}}{2} + \frac{\vec{B} — \vec{D}}{2} + \frac{\vec{C} — \vec{A}}{2} + \frac{\vec{D} — \vec{B}}{2} = 0 \)

Пусть векторы \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \) и \( \vec{D} \) представляют собой координаты точек A, B, C и D соответственно. Точка O является точкой пересечения диагоналей AC и BD, поэтому по свойству параллелограмма выполняется равенство:

\[
\vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2}
\]

Теперь выразим векторы \( \vec{OA} \), \( \vec{OB} \), \( \vec{OC} \) и \( \vec{OD} \):

\[
\vec{OA} = \vec{A} — \vec{O} = \vec{A} — \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{A} — \vec{C}}{2}
\]

\[
\vec{OB} = \vec{B} — \vec{O} = \vec{B} — \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} = \frac{\vec{B} — \vec{D}}{2}
\]

\[
\vec{OC} = \vec{C} — \vec{O} = \vec{C} — \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{C} — \vec{A}}{2}
\]

\[
\vec{OD} = \vec{D} — \vec{O} = \vec{D} — \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} = \frac{\vec{D} — \vec{B}}{2}
\]

Теперь сложим все векторы:

\[
\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \frac{\vec{A} — \vec{C}}{2} + \frac{\vec{B} — \vec{D}}{2} + \frac{\vec{C} — \vec{A}}{2} + \frac{\vec{D} — \vec{B}}{2}
\]

Объединим все векторы:

\[
= \frac{(\vec{A} — \vec{C}) + (\vec{B} — \vec{D}) + (\vec{C} — \vec{A}) + (\vec{D} — \vec{B})}{2}
\]

Упрощая, получаем:

\[
= \frac{0}{2} = 0
\]

Таким образом, \( OA + OB + OC + OD = 0 \).