ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны четырёхугольник ABCD и некоторая точка О. Известно, что \(АО + ОВ = DO + OC\). Докажите, что четырёхугольник ABCD параллелограмм.

Если \( AO + OB = DO + OC \), то расстояния от точки O до противоположных вершин равны. Это условие выполняется только для параллелограмма, где противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, воспользуемся заданным условием \( AO + OB = DO + OC \).
Рассмотрим векторы, соответствующие вершинам четырёхугольника: пусть \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D} \) — это векторы точек A, B, C и D соответственно, а \( \vec{O} \) — вектор точки O. Тогда длины отрезков можно записать как:
\(
|\vec{AO}| = |\vec{A} — \vec{O}|, \quad |\vec{OB}| = |\vec{B} — \vec{O}|,
\)
\(
|\vec{DO}| = |\vec{D} — \vec{O}|, \quad |\vec{OC}| = |\vec{C} — \vec{O}|.
\)
Условие задачи можно переформулировать как:
\(
|\vec{A} — \vec{O}| + |\vec{B} — \vec{O}| = |\vec{D} — \vec{O}| + |\vec{C} — \vec{O}|.
\)
Это равенство говорит о том, что сумма расстояний от точки O до двух противоположных вершин (A и B) равна сумме расстояний от той же точки O до других двух противоположных вершин (D и C).
Теперь применим свойства параллелограмма. В параллелограмме сумма векторов, соединяющих одну пару противоположных вершин, равна сумме векторов, соединяющих другую пару. То есть, если \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) — это векторы, соединяющие соответственно точки A и B, а также D и C, то для параллелограмма справедливо:
\(
|\vec{AB}| = |\vec{CD}|.
\)
Из условия \( AO + OB = DO + OC \) следует, что точки A и B, а также D и C находятся на одной прямой, проходящей через O. Это означает, что отрезки AB и CD равны и параллельны.
Таким образом, если для произвольной точки O выполняется равенство \( AO + OB = DO + OC \), это условие выполняется только для параллелограмма, где противоположные стороны равны и параллельны.
Следовательно, можно заключить, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.