ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны четырёхугольник ABCD и некоторая точка О. Известно, что \(OA OD = ОВ ОС\). Докажите, что четырёхугольник ABCD параллелограмм.

Если \( OA \cdot OD = OB \cdot OC \), то четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как это условие соответствует равенству площадей треугольников AOB и COD, что приводит к равенству противоположных сторон.

Дано: четырёхугольник ABCD и точка O, такая что \( OA \cdot OD = OB \cdot OC \).

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию, произведение отрезков \( OA \cdot OD \) равно произведению отрезков \( OB \cdot OC \).

2. Поскольку \( OA \cdot OD = OB \cdot OC \), это указывает на равенство площадей треугольников AOB и COD.

3. Площади треугольников можно выразить через их стороны и углы. Если площади равны, то соответствующие углы также равны, что приводит к равенству сторон AB и CD, а также AD и BC.

4. Таким образом, имеем \( AB = CD \) и \( AD = BC \). Это свойство характерно для параллелограммов.

5. Следовательно, поскольку противоположные стороны равны, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

В итоге, если выполняется условие \( OA \cdot OD = OB \cdot OC \), то ABCD является параллелограммом.