ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сторона равностороннего треугольника АВС равна 3 см. Найдите AB + BC.

\(
|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = 3
\)

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, где каждая сторона равна 3 см. Вектора \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \) можно представить в координатной системе для более удобного анализа. Предположим, что точка A находится в начале координат, то есть \( A(0, 0) \), точка B будет находиться на координате \( B(3, 0) \), поскольку сторона AB равна 3 см и направлена вдоль оси x. Точка C, находящаяся на высоте равностороннего треугольника, будет иметь координаты \( C\left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \). Это положение точки C можно найти, зная, что высота h равностороннего треугольника вычисляется по формуле \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \), где a — длина стороны треугольника.

Теперь определим векторы. Вектор \( \vec{AB} \) можно записать как \( \vec{AB} = B — A = (3, 0) — (0, 0) = (3, 0) \). Вектор \( \vec{BC} \) будет равен \( \vec{BC} = C — B = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) — (3, 0) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \). Теперь мы можем найти сумму векторов \( \vec{AB} + \vec{BC} \). Это даст нам новый вектор, который можно вычислить следующим образом: \( \vec{AB} + \vec{BC} = (3, 0) + \left(-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = \left(3 — \frac{3}{2}, 0 + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \).

Теперь мы можем найти длину вектора \( |\vec{AB} + \vec{BC}| \) с использованием формулы для длины вектора в двумерной системе координат. Длина вектора \( \vec{v} = (x, y) \) вычисляется по формуле \( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \). В нашем случае длина будет равна \( |\vec{AB} + \vec{BC}| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} \). Подставим значения: \( = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3 \). Таким образом, мы приходим к выводу, что \( |\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = 3 \), что соответствует длине стороны равностороннего треугольника.