ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что для любых n точек А1, А2, … , Аn выполняется равенство А1А2 + А2А3 + А3А4 + … + Аn-1Аn + АnА1 = 0.

Для произвольных \( n \) точек \( A_1, A_2, \ldots, A_n \) равенство \( A_1A_2 + A_2A_3 + A_3A_4 + \ldots + A_{n-1}A_n + A_nA_1 = 0 \) не выполняется. Однако, если точки расположены симметрично, например, на окружности, то сумма векторов, соединяющих соседние точки, равна нулю из-за симметрии.

Для произвольных \( n \) точек \( A_1, A_2, \ldots, A_n \) равенство \( A_1A_2 + A_2A_3 + A_3A_4 + \ldots + A_{n-1}A_n + A_nA_1 = 0 \) не выполняется. Это связано с тем, что расстояния между точками не могут быть равны нулю, если точки не совпадают. Однако, если точки расположены в симметричной конфигурации, например, на окружности, то ситуация меняется. В таком случае, каждая пара соседних точек может быть представлена вектором, и сумма всех этих векторов будет равна нулю из-за их равномерного распределения.

Если рассмотреть точки на единичной окружности, можно выразить каждую точку в виде комплексного числа: \( A_k = e^{i \frac{2\pi k}{n}} \) для \( k = 1, 2, \ldots, n \). Векторы, соединяющие соседние точки, будут иметь одинаковую длину и равные углы между ними. Сумма этих векторов будет представлять собой замкнутый путь, который возвращается в начальную точку, что приводит к нулевой сумме. Таким образом, при равномерном распределении на окружности, сумма расстояний между соседними точками действительно равна нулю.

В общем случае, если точки расположены произвольно, то сумма \( A_1A_2 + A_2A_3 + A_3A_4 + \ldots + A_{n-1}A_n + A_nA_1 \) не может быть равна нулю, так как векторы не будут замыкаться. Это иллюстрирует, что симметрия играет ключевую роль в этом равенстве. Поэтому, для выполнения данного равенства необходимо, чтобы точки находились в особой конфигурации, такой как окружность, где симметрия позволяет упростить задачу и получить нулевую сумму.