ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.37 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан четырёхугольник ABCD. Докажите, что \(МС + СВ + BD = = MA DA\), где М произвольная точка.

\( MC + CB + BD = MA + DA \) для произвольной точки \( M \) в четырёхугольнике \( ABCD \) следует из свойства треугольников и равенства диагоналей.

\( MC + CB + BD = MA + DA \) можно доказать, используя свойства треугольников и геометрические соотношения. Рассмотрим произвольную точку \( M \) в плоскости четырёхугольника \( ABCD \). Мы можем провести линии от точки \( M \) к вершинам четырёхугольника, что создаст несколько треугольников: \( \triangle MAB \), \( \triangle MBC \), \( \triangle MCD \), и \( \triangle MDA \).

Сначала выделим отрезки: пусть \( MC = x \), \( CB = y \), \( BD = z \), \( MA = a \), и \( DA = b \). Тогда мы можем выразить длины отрезков в зависимости от расположения точки \( M \). Если \( M \) находится на линии, соединяющей точки \( A \) и \( C \), то длина отрезка \( AC \) будет равна сумме \( MA + MC \), так как точка \( M \) делит этот отрезок на два. Аналогично, отрезок \( BD \) будет равен \( z \).

Теперь, используя свойства параллелограмма, можно заметить, что если \( AC \) и \( BD \) являются диагоналями, то выполняется равенство \( AC = BD \). Это означает, что сумма длин отрезков \( MC + CB + BD \) равна сумме \( MA + DA \). Таким образом, при любом расположении точки \( M \) в плоскости четырехугольника \( ABCD \) справедливо равенство \( MC + CB + BD = MA + DA \).