ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Четырёхугольник ABCD параллелограмм. Докажите, что \(ВМ + MD + DC = CD + AC\), где М произвольная точка.

Для произвольной точки \( M \) на стороне \( AB \) параллелограмма \( ABCD \) верно, что \( BM + MD + DC = CD + AC \).

Доказательство:

1. \( BM = x \), \( MD = y \), \( DC = z \).
2. В параллелограмме \( AC = BD = x + y \).
3. \( CD = z \).

Тогда:

\( BM + MD + DC = x + y + z \) и \( CD + AC = z + (x + y) \).

Таким образом, \( BM + MD + DC = CD + AC \).

В параллелограмме \( ABCD \) рассмотрим произвольную точку \( M \) на стороне \( AB \). Необходимо доказать, что выполняется равенство \( BM + MD + DC = CD + AC \). Для начала обозначим длины отрезков: пусть \( BM = x \), \( MD = y \), и \( DC = z \). Поскольку \( ABCD \) является параллелограммом, мы знаем, что противоположные стороны равны, то есть \( AB = CD \) и \( AD = BC \).

Теперь рассмотрим диагонали параллелограмма. В параллелограмме \( ABCD \) диагонали \( AC \) и \( BD \) равны, что означает, что \( AC = BD \). По свойству треугольников в \( \triangle BMD \) длина диагонали \( BD \) может быть выражена как сумма отрезков \( BM \) и \( MD \): \( BD = BM + MD = x + y \). Следовательно, мы можем записать, что \( AC = x + y \).

Следующий шаг — сравнить выражения для \( BM + MD + DC \) и \( CD + AC \). Сначала запишем левую часть:

\( BM + MD + DC = x + y + z \).

Теперь рассмотрим правую часть. Поскольку \( CD = z \) и \( AC = x + y \), то можем записать:

\( CD + AC = z + (x + y) \).

Теперь у нас есть два выражения: левую часть \( x + y + z \) и правую часть \( z + (x + y) \). Мы видим, что обе части равны, так как:

\( BM + MD + DC = CD + AC \).

Таким образом, мы пришли к выводу, что для произвольной точки \( M \) на стороне \( AB \) параллелограмма \( ABCD \) действительно выполняется равенство \( BM + MD + DC = CD + AC \).