ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.39 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Четырёхугольник ABCD параллелограмм. Докажите, что:
1) \(AD BA + DB DC = AB\);
2) \(AB+ CA DA = 0\).
1) \( AD \cdot BA + DB \cdot DC = AB \) верно, так как в параллелограмме \( AB = CD \) и \( AD + DB = AB \).
2) \( AB + CA + DA = 0 \) верно, так как \( CA = -AB — AD \), что приводит к \( AB — AB + DA — AD = 0 \).
1) Для доказательства равенства \( AD \cdot BA + DB \cdot DC = AB \) рассмотрим векторы параллелограмма \( ABCD \). В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть \( AB = CD \) и \( AD = BC \). Вектор \( AD \) направлен от точки \( A \) к точке \( D \), а вектор \( BA \) — от точки \( B \) к точке \( A \). Поскольку \( D \) и \( B \) являются вершинами параллелограмма, мы можем записать, что сумма векторов \( AD \) и \( DB \) равна вектору \( AB \): \( AD + DB = AB \).
Теперь выразим \( DB \) через \( AB \) и \( AD \): \( DB = AB — AD \). Подставим это выражение в исходное уравнение: \( AD \cdot BA + (AB — AD) \cdot DC = AB \). Раскроем скобки: \( AD \cdot BA + AB \cdot DC — AD \cdot DC = AB \). Поскольку \( DC \) равно \( AB \) по свойству параллелограмма, то у нас получится \( AD \cdot BA + AB \cdot AB — AD \cdot AB = AB \). Упрощая это, мы получаем равенство \( 0 = 0 \), что подтверждает верность первого утверждения.
2) Для второго утверждения \( AB + CA + DA = 0 \) начнем с выражения вектора \( CA \). Вектор \( CA \) можно записать как \( CA = -AB — AD \). Это связано с тем, что вектор \( CA \) направлен от точки \( C \) к точке \( A \) и, следовательно, противоположен вектору \( AB \) и вектору \( AD \). Теперь подставим это выражение в уравнение: \( AB + (-AB — AD) + DA = 0 \). Упрощая, мы получаем \( AB — AB — AD + DA = 0 \). Поскольку \( DA \) и \( AD \) равны по величине и направлению, мы можем записать \( DA — AD = 0 \). Таким образом, у нас остается равенство \( 0 = 0 \), что подтверждает верность второго утверждения.
