ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.40 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Докажите, что:

1) \(MB+ BC + MA = 0\);

2) \(MA + AC + MB + BA = 0\).

1) \(MB + BC + MA = 0\) — это равенство выполняется, так как векторы \(MB\), \(BC\) и \(MA\) образуют замкнутый путь от \(M\) к \(B\), затем к \(C\) и обратно к \(A\).

2) \(MA + AC + MB + BA = 0\) — это равенство также выполняется, поскольку векторы \(MA\), \(AC\), \(MB\) и \(BA\) образуют замкнутый путь от \(M\) к \(A\), затем к \(C\), к \(B\) и обратно к \(M\).

1) Рассмотрим векторы в треугольнике \(ABC\) с медианой \(BM\), где \(M\) — середина стороны \(AC\). Вектор \(MB\) направлен от точки \(M\) к точке \(B\), вектор \(BC\) — от точки \(B\) к точке \(C\), а вектор \(MA\) — от точки \(M\) к точке \(A\). Мы можем выразить их как:

\[
MB + BC + MA = 0
\]

Это указывает на то, что если мы начнем в точке \(M\), переместимся к \(B\), затем к \(C\), и вернемся к \(A\), то мы замкнем путь. Таким образом, это равенство выполняется, так как сумма векторов, представляющих этот путь, равна нулю.

2) Теперь рассмотрим второе равенство \(MA + AC + MB + BA = 0\). Здесь вектор \(MA\) направлен от точки \(M\) к точке \(A\), вектор \(AC\) — от точки \(A\) к точке \(C\), вектор \(MB\) — от точки \(M\) к точке \(B\), и вектор \(BA\) — от точки \(B\) к точке \(A\). Мы можем записать:

\[
MA + AC + MB + BA = 0
\]

Это равенство также указывает на замкнутость пути. Начав в точке \(M\), мы можем пройти к \(A\), затем к \(C\), оттуда к \(B\) и вернуться в \(M\). Таким образом, сумма этих векторов также равна нулю, что подтверждает выполнение данного равенства.

В обоих случаях мы видим, что векторы образуют замкнутые пути, что и является основным аргументом для доказательства данных равенств. Использование векторов позволяет наглядно увидеть, как они взаимодействуют друг с другом в пространстве треугольника, и как их сумма ведет к нулю, подчеркивая геометрическую природу медиан и сторон треугольника.