ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что для неколлинеарных векторов \(а\) и \(b\) выполняется неравенство \(|a+b| < |a|+|b|\).
Для неколлинеарных векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) выполняется неравенство \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}| < |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \). Доказательство основано на неравенстве треугольника и свойстве угла между векторами. Поскольку угол между неколлинеарными векторами не равен \( 0 \) или \( \pi \), выполняется \( \cos(\theta) < 1 \), что приводит к \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 < (|\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|)^2 \), следовательно, \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}| < |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \).
Для доказательства неравенства \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}| < |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \) для неколлинеарных векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) начнем с применения неравенства треугольника, которое гласит, что для любых векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) справедливо \( |\mathbf{u} + \mathbf{v}| \leq |\mathbf{u}| + |\mathbf{v}| \). Применяя это к нашим векторам, получаем \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \). Однако, чтобы показать строгую неравенство, необходимо учитывать свойства угла между векторами.
Поскольку векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) неколлинеарны, угол \( \theta \) между ними не равен \( 0 \) или \( \pi \). Это означает, что \( \cos(\theta) < 1 \). Рассмотрим квадрат длины суммы векторов, который можно выразить как \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \). Подставляя неравенство для косинуса, получаем \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 < |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \).
Теперь заметим, что правая часть выражения \( |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \) является квадратом суммы: \( (|\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|)^2 \). Таким образом, мы имеем \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 < (|\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|)^2 \). Из этого неравенства следует, что \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}| < |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \), что и требовалось доказать.
