ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.43 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что для неколлинеарных векторов \(а\) и \(b\) выполняется неравенство \(|a-b| < |a|+|b|\).

Для неколлинеарных векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) выполняется неравенство \( |\mathbf{a} — \mathbf{b}| < |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \). Это следует из неравенства треугольника и косинусного закона.

Косинусный закон дает \( |\mathbf{a} — \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 — 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta) \), где \( \theta \) — угол между векторами. Поскольку векторы неколлинеарны, \( \cos(\theta) \neq 1 \) и \( \cos(\theta) \neq -1 \), следовательно, \( -2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta) > 0 \), что приводит к строгому неравенству \( |\mathbf{a} — \mathbf{b}| < |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \).

Для доказательства неравенства \( |\mathbf{a} — \mathbf{b}| < |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \) для неколлинеарных векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) начнем с применения неравенства треугольника, которое гласит, что для любых векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) выполняется \( |\mathbf{u} + \mathbf{v}| \leq |\mathbf{u}| + |\mathbf{v}| \). В нашем случае, мы можем записать \( |\mathbf{a} — \mathbf{b}| = |\mathbf{a} + (-\mathbf{b})| \). Применяя неравенство треугольника, получаем \( |\mathbf{a} — \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| + |-\mathbf{b}| = |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \). Это уже указывает на то, что длина вектора \( \mathbf{a} — \mathbf{b} \) не превышает сумму длин векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).

Однако для завершения доказательства нам необходимо показать, что это неравенство строгое, то есть \( |\mathbf{a} — \mathbf{b}| < |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \). Для этого воспользуемся косинусным законом, который связывает длины сторон треугольника с углом между ними. Косинусный закон утверждает, что для треугольника со сторонами \( a \), \( b \) и \( c \) и углом \( \theta \) между сторонами \( a \) и \( b \) выполняется следующее равенство: \( c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos(\theta) \). В нашем случае, длина вектора \( \mathbf{a} — \mathbf{b} \) может быть выражена как \( |\mathbf{a} — \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 — 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta) \), где \( \theta \) — угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).

Поскольку векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) неколлинеарны, угол \( \theta \) между ними не равен \( 0 \) или \( 180 \) градусам. Это означает, что \( \cos(\theta) \) не может быть равен \( 1 \) или \( -1 \). Следовательно, \( -2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta) > 0 \). Это приводит к тому, что \( |\mathbf{a} — \mathbf{b}|^2 < |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 \), что, в свою очередь, означает, что \( |\mathbf{a} — \mathbf{b}| < |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \). Таким образом, мы завершили доказательство строгого неравенства для неколлинеарных векторов.