ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.44 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для ненулевых векторов \(а\) и \(b\) выполняется равенство \(|a + b| = |a| + |b|\). Докажите, что \(а \parallel b\).

Если для ненулевых векторов \(a\) и \(b\) выполняется равенство \(|a + b| = |a| + |b|\), то это означает, что векторы \(a\) и \(b\) направлены в одну сторону или в противоположные. Следовательно, \(a \parallel b\).

Если для ненулевых векторов \(a\) и \(b\) выполняется равенство \(|a + b| = |a| + |b|\), это указывает на особые геометрические свойства этих векторов. Векторная сумма \(a + b\) описывает вектор, который получается при соединении векторов \(a\) и \(b\) по правилу параллелограмма. Однако, если длина этого вектора равна сумме длин \(a\) и \(b\), это означает, что они направлены в одну линию, то есть коллинеарны.

Согласно неравенству треугольника, для любых векторов \(a\) и \(b\) выполняется условие \(|a + b| \leq |a| + |b|\). Равенство в этом неравенстве достигается только в случае, если векторы \(a\) и \(b\) направлены в одну сторону или в противоположные. Это можно выразить через коэффициент \(k\), где \(a = k \cdot b\). Если \(k > 0\), векторы направлены в одну сторону; если \(k < 0\), они направлены в противоположные стороны. В любом случае, это указывает на то, что \(a\) и \(b\) параллельны.

Таким образом, из условия \(|a + b| = |a| + |b|\) следует, что векторы \(a\) и \(b\) могут быть представлены как \(a = k \cdot b\), где \(k\) — скаляр. Это завершает доказательство, что если сумма векторов равна сумме их длин, то векторы \(a\) и \(b\) являются параллельными, то есть \(a \parallel b\).