ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.45 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для ненулевых векторов \(а\) и \(b\) выполняется равенство \(|a b| = |a| + |b|\). Докажите, что \(а \perp b\).

Если для ненулевых векторов \(a\) и \(b\) выполняется равенство \(|a b| = |a| + |b|\), то это означает, что \( |a| |b| \cos(\theta) = |a| + |b| \).

При условии, что \(|a|, |b| > 0\), делим обе стороны на \(|a| |b|\):

\(\cos(\theta) = \frac{|a| + |b|}{|a| |b|}\).

Поскольку для любых ненулевых векторов \(|a| + |b| \leq |a| |b|\) (по неравенству треугольника), равенство выполняется только при \(\theta = 90^\circ\), что означает, что \(a \perp b\).

Для доказательства, что векторы \(a\) и \(b\) перпендикулярны при условии, что выполняется равенство \(|a b| = |a| + |b|\), начнем с анализа данного равенства. Здесь \(|a b|\) обозначает длину вектора, полученного в результате векторного произведения \(a\) и \(b\). Для ненулевых векторов можно записать, что длина векторного произведения равна \(|a| |b| \sin(\theta)\), где \(\theta\) — угол между векторами \(a\) и \(b\). Таким образом, равенство можно переписать как \(|a| |b| \sin(\theta) = |a| + |b|\).

Теперь рассмотрим выражение \(|a| + |b|\). Оно представляет собой сумму длин векторов \(a\) и \(b\). Мы знаем, что для любых двух векторов выполняется неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух векторов всегда больше или равна длине их суммы: \(|a| + |b| \geq |a + b|\). В нашем случае, если \(|a| |b| \sin(\theta) = |a| + |b|\), это указывает на то, что векторное произведение \(a\) и \(b\) достигает максимального значения.

Для того чтобы равенство \(|a| |b| \sin(\theta) = |a| + |b|\) выполнялось, необходимо, чтобы \(\sin(\theta)\) было равно 1. Это возможно только в случае, если \(\theta = 90^\circ\) (или \(\frac{\pi}{2}\) радиан). Таким образом, мы приходим к выводу, что векторы \(a\) и \(b\) перпендикулярны друг другу: \(a \perp b\).