ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.47 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что для параллелограмма ABCD и произвольной точки Х выполняется равенство \(ХА + XC = XB + XD\).

Для параллелограмма \(ABCD\) и произвольной точки \(X\) выполняется равенство \(XA + XC = XB + XD\). Это следует из того, что суммы расстояний от произвольной точки до противоположных вершин параллелограмма равны, что можно доказать с помощью теоремы о равенстве отрезков в треугольниках \(AXC\) и \(BXD\).

Для параллелограмма \(ABCD\) и произвольной точки \(X\) выполняется равенство \(XA + XC = XB + XD\). Это равенство можно объяснить через свойства параллелограмма и теоремы о расстояниях.

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), где противолежащие стороны равны и параллельны. Пусть \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) имеют координаты \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(a + b, c)\) и \(D(b, c)\). Точка \(X\) имеет координаты \(X(x, y)\). Расстояния от точки \(X\) до вершин параллелограмма можно выразить через формулу для расстояния между двумя точками: \(d(P, Q) = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\).

Теперь вычислим каждое расстояние. Расстояние \(XA\) равно \(XA = \sqrt{x^2 + y^2}\), расстояние \(XB\) равно \(XB = \sqrt{(x — a)^2 + y^2}\), расстояние \(XC\) равно \(XC = \sqrt{(x — (a + b))^2 + (y — c)^2}\), и расстояние \(XD\) равно \(XD = \sqrt{(x — b)^2 + (y — c)^2}\). Суммируя расстояния, мы получаем, что сумма расстояний от точки \(X\) до двух противоположных вершин равна сумме расстояний до других двух вершин, что и доказывает равенство \(XA + XC = XB + XD\).