ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.50 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Известно, что \(ОА + ОВ + OC + OD = 0\). Докажите, что ABCD параллелограмм.

Если \( OA + OB + OC + OD = 0 \), то можно записать это как \( \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D} = 0 \). Это означает, что \( \vec{A} + \vec{C} = -(\vec{B} + \vec{D}) \). Таким образом, середины отрезков AC и BD совпадают, что доказывает, что ABCD является параллелограммом.

Для доказательства, что четырехугольник ABCD является параллелограммом при условии \( OA + OB + OC + OD = 0 \), начнем с векторного представления. Обозначим векторы, направленные к вершинам A, B, C и D как \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D} \). Условие можно переписать в виде векторного уравнения: \( \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D} = 0 \). Это указывает на то, что сумма векторов, направленных от точки O к вершинам четырехугольника, равна нулю.

Перепишем это уравнение, сгруппировав векторы по парам: \( \vec{A} + \vec{C} = -(\vec{B} + \vec{D}) \). Это равенство говорит о том, что векторы \( \vec{A} + \vec{C} \) и \( \vec{B} + \vec{D} \) равны по величине и направлены в противоположные стороны. Это также можно интерпретировать как то, что середины отрезков AC и BD совпадают, что является важным свойством параллелограммов.

В параллелограмме диагонали пересекаются в своих средних точках. Следовательно, если мы показали, что середины отрезков AC и BD совпадают, это и есть необходимое условие для того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом. Таким образом, исходное условие \( OA + OB + OC + OD = 0 \) влечет за собой, что ABCD является параллелограммом.