ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.51 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Векторы MN, PQ и EF попарно неколлинеарны, причём \(MN + PQ + EF = 0\). Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам MN, PQ и EF.

Согласно условию \(MN + PQ + EF = 0\), можно выразить \(EF\) как \(EF = — (MN + PQ)\). Длины векторов обозначим как \(a = |MN|\), \(b = |PQ|\), \(c = |EF| = |-(MN + PQ)| = |MN + PQ|\).

Для существования треугольника необходимо, чтобы выполнялись неравенства:

1. \(a + b > c\)
2. \(a + c > b\)
3. \(b + c > a\)

Поскольку векторы \(MN\) и \(PQ\) неколлинеарны, первое неравенство \(a + b > |MN + PQ|\) выполняется. Аналогично выполняются и остальные неравенства.

Таким образом, существует треугольник со сторонами, равными отрезкам \(MN\), \(PQ\) и \(EF\).

Условия задачи утверждают, что векторы \(MN\), \(PQ\) и \(EF\) попарно неколлинеарны и удовлетворяют равенству \(MN + PQ + EF = 0\). Это равенство можно переписать, выразив один из векторов через другие. Например, мы можем записать \(EF = — (MN + PQ)\). Это говорит о том, что вектор \(EF\) является противоположным вектору, полученному в результате сложения \(MN\) и \(PQ\).

Далее, обозначим длины векторов как \(a = |MN|\), \(b = |PQ|\) и \(c = |EF| = |-(MN + PQ)| = |MN + PQ|\). Важно отметить, что длина вектора \(EF\) равна длине суммы векторов \(MN\) и \(PQ\). Для того чтобы три отрезка могли образовать треугольник, необходимо выполнение неравенств треугольника, которые формулируются следующим образом: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Это выражается в виде следующих неравенств: \(a + b > c\), \(a + c > b\) и \(b + c > a\).

Теперь проверим выполнение каждого из этих неравенств. Первое неравенство \(a + b > c\) можно интерпретировать как то, что сумма длин векторов \(MN\) и \(PQ\) должна превышать длину вектора \(EF\). Поскольку векторы \(MN\) и \(PQ\) неколлинеарны, то их сумма не может равняться или превышать сумму их длин, что гарантирует выполнение этого неравенства. Аналогично, для второго неравенства \(a + c > b\) и третьего неравенства \(b + c > a\) также выполняются условия, так как длина каждого из векторов \(MN\) и \(PQ\) добавляется к длине суммы, что также подтверждает выполнение всех условий для существования треугольника. Таким образом, мы приходим к выводу, что существует треугольник со сторонами, равными отрезкам \(MN\), \(PQ\) и \(EF\).