ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.54 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что \(МА + МВ + МС = 0\).
Для доказательства, что \(MA + MB + MC = 0\), обозначим точки \(A\), \(B\), \(C\) как вершины треугольника, а \(M\) — точку пересечения медиан. Вектор точки \(M\) равен \(\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}\). Векторы \(MA\), \(MB\) и \(MC\) вычисляются следующим образом: \(MA = \vec{A} — \vec{M} = \frac{2\vec{A} — \vec{B} — \vec{C}}{3}\), \(MB = \vec{B} — \vec{M} = \frac{2\vec{B} — \vec{A} — \vec{C}}{3}\), \(MC = \vec{C} — \vec{M} = \frac{2\vec{C} — \vec{A} — \vec{B}}{3}\). Сложив эти векторы, получаем \(MA + MB + MC = \frac{(2\vec{A} — \vec{B} — \vec{C}) + (2\vec{B} — \vec{A} — \vec{C}) + (2\vec{C} — \vec{A} — \vec{B})}{3}\). Упрощая, мы видим, что все компоненты векторов взаимно уничтожаются, и в итоге получаем \(MA + MB + MC = 0\).
Для доказательства, что \(MA + MB + MC = 0\), воспользуемся векторным методом. Пусть \(A\), \(B\) и \(C\) — вершины треугольника, а \(M\) — точка пересечения медиан. Вектор точки \(M\) можно выразить как среднее арифметическое координат вершин треугольника. Таким образом, вектор \(M\) равен \(\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}\). Это означает, что точка \(M\) делит каждую из медиан в отношении 2:1, где 2 части находятся ближе к вершине треугольника.
Теперь найдем векторы \(MA\), \(MB\) и \(MC\). Вектор \(MA\) вычисляется как разность векторов \(A\) и \(M\): \(MA = \vec{A} — \vec{M}\). Подставив значение вектора \(M\), получаем: \(MA = \vec{A} — \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \frac{3\vec{A} — \vec{A} — \vec{B} — \vec{C}}{3} = \frac{2\vec{A} — \vec{B} — \vec{C}}{3}\). Аналогично, для вектора \(MB\) получаем: \(MB = \vec{B} — \vec{M} = \vec{B} — \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \frac{3\vec{B} — \vec{A} — \vec{B} — \vec{C}}{3} = \frac{2\vec{B} — \vec{A} — \vec{C}}{3}\). Для вектора \(MC\) аналогично: \(MC = \vec{C} — \vec{M} = \vec{C} — \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \frac{3\vec{C} — \vec{A} — \vec{B} — \vec{C}}{3} = \frac{2\vec{C} — \vec{A} — \vec{B}}{3}\).
Теперь сложим векторы \(MA\), \(MB\) и \(MC\): \(MA + MB + MC = \frac{2\vec{A} — \vec{B} — \vec{C}}{3} + \frac{2\vec{B} — \vec{A} — \vec{C}}{3} + \frac{2\vec{C} — \vec{A} — \vec{B}}{3}\). Объединив все векторы, получаем: \(= \frac{(2\vec{A} — \vec{B} — \vec{C}) + (2\vec{B} — \vec{A} — \vec{C}) + (2\vec{C} — \vec{A} — \vec{B})}{3}\). Группируя векторы по компонентам, получаем: \(= \frac{(2\vec{A} — \vec{A} — \vec{A}) + (2\vec{B} — \vec{B} — \vec{B}) + (2\vec{C} — \vec{C} — \vec{C})}{3} = \frac{0}{3} = 0\). Следовательно, мы доказали, что \(MA + MB + MC = 0\).
