ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.55 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что для любых \(n\) точек \(А_1, А_2, … , А_n\) существует единственная точка \(М_1\) такая, что \(МА_1 + МА_2 + … + МА_n = 0\).

Для любых \(n\) точек \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) существует единственная точка \(M_1\), такая что \(MA_1 + MA_2 + \ldots + MA_n = 0\). Определим точку \(M_1\) как среднее арифметическое координат точек \(A_i\): \(M_1 = \left(\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}, \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n}\right)\). Сумма векторов \(MA_i\) равна нулю, что означает, что векторы \(MA_1, MA_2, \ldots, MA_n\) уравновешивают друг друга. Если бы существовала другая точка \(M_2\), удовлетворяющая тому же условию, то она также должна была бы совпадать с \(M_1\). Таким образом, точка \(M_1\) является единственной, и мы доказали, что для любых \(n\) точек существует единственная точка \(M_1\), такая что \(MA_1 + MA_2 + \ldots + MA_n = 0\).

Для любых \(n\) точек \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) существует единственная точка \(M_1\), такая что \(MA_1 + MA_2 + \ldots + MA_n = 0\).

Начнем с того, что вектор \(MA_i\) представляет собой вектор, направленный от точки \(M\) к точке \(A_i\). Условие, что сумма этих векторов равна нулю, означает, что эти векторы уравновешивают друг друга. Это можно интерпретировать как ситуацию, когда точка \(M\) является центром тяжести системы точек \(A_1, A_2, \ldots, A_n\). Если мы обозначим координаты точки \(M\) как \((x_M, y_M)\), то вектор \(MA_i\) можно выразить как \(A_i — M\), где \(A_i\) — координаты точки \(A_i\).

Теперь, если мы сложим все векторы \(MA_i\), то получим:
\(
MA_1 + MA_2 + \ldots + MA_n = (A_1 — M) + (A_2 — M) + \ldots + (A_n — M) =\)
\(= (A_1 + A_2 + \ldots + A_n) — nM
\)
Для того чтобы эта сумма равнялась нулю, необходимо, чтобы выполнялось равенство:
\(
(A_1 + A_2 + \ldots + A_n) — nM = 0
\)
Отсюда следует, что:
\(
nM = A_1 + A_2 + \ldots + A_n
\)
Следовательно, точка \(M_1\) может быть найдена как:
\(
M_1 = \left(\frac{A_1 + A_2 + \ldots + A_n}{n}\right)
\)

Теперь рассмотрим уникальность точки \(M_1\). Если бы существовала другая точка \(M_2\), такая что \(MA_1 + MA_2 + \ldots + MA_n = 0\), то аналогично мы могли бы записать:
\(
M_2 = \left(\frac{A_1 + A_2 + \ldots + A_n}{n}\right)
\)
Это показывает, что \(M_2\) также должно совпадать с \(M_1\). Таким образом, \(M_1\) является единственной точкой, которая удовлетворяет условию \(MA_1 + MA_2 + \ldots + MA_n = 0\).

В итоге, мы пришли к выводу, что для любых \(n\) точек существует единственная точка \(M_1\), которая равна среднему арифметическому координат всех точек \(A_i\). Это свойство является важным в геометрии и векторной алгебре, так как оно демонстрирует, как можно находить центры масс и уравновешивать системы точек.