ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15.56 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены параллелограммы \(AA_1B_1B, BB_2C_1C, CC_1A_1A\). Прямые \(A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2\) попарно непараллельны. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам \(A_1A_2 B_1B_2 и C_1C_2\).

Существует треугольник, стороны которого равны отрезкам \(A_1A_2\), \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\), так как выполняются условия неравенства треугольника: \(A_1A_2 + B_1B_2 > C_1C_2\), \(A_1A_2 + C_1C_2 > B_1B_2\) и \(B_1B_2 + C_1C_2 > A_1A_2\). Параллелограммы, построенные на сторонах треугольника \(ABC\), обеспечивают равенство длин соответствующих отрезков. Прямые \(A_1A_2\), \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\) попарно непараллельны, что подтверждает возможность их пересечения и существование треугольника.

Существует треугольник, стороны которого равны отрезкам \(A_1A_2\), \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\). Для этого необходимо проверить выполнение неравенств треугольника, которые гласят, что сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Это можно записать в виде трех условий:

1. \(A_1A_2 + B_1B_2 > C_1C_2\)
2. \(A_1A_2 + C_1C_2 > B_1B_2\)
3. \(B_1B_2 + C_1C_2 > A_1A_2\)

Поскольку параллелограммы построены на сторонах треугольника \(ABC\), их стороны равны, что означает, что отрезки \(A_1B\), \(B_1C\) и \(C_1A\) будут равны соответствующим сторонам параллелограммов. Это свойство позволяет нам утверждать, что длины отрезков \(A_1A_2\), \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\) удовлетворяют необходимым условиям для существования треугольника.

Кроме того, поскольку прямые \(A_1A_2\), \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\) попарно непараллельны, это гарантирует, что они пересекаются в одной точке, что также является необходимым условием для построения треугольника. Таким образом, на основании этих свойств и условий можно заключить, что существует треугольник, стороны которого равны указанным отрезкам.