ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В параллелограмме ABCD на диагонали АС отметили точку М так, что \(AM : MC = 1 : 3\). Выразите вектор МС через векторы а и b, где \(a = AB\), \(b = AD\).

\(\vec{MC} = \frac{3}{4} (\vec{a} + \vec{b})\)

В параллелограмме ABCD, чтобы выразить вектор \( \vec{MC} \) через векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), начнем с обозначения вершин параллелограмма. Пусть точка \( A \) соответствует началу координат, то есть \( \vec{A} = \vec{0} \). Вектор \( \vec{B} \) будет равен \( \vec{a} \), так как \( \vec{a} \) — это вектор, соединяющий точки \( A \) и \( B \). Вектор \( \vec{D} \) будет равен \( \vec{b} \), поскольку \( \vec{b} \) — это вектор, соединяющий точки \( A \) и \( D \). Точка \( C \) тогда будет находиться в координате \( \vec{C} = \vec{A} + \vec{a} + \vec{b} = \vec{a} + \vec{b} \).

Теперь определим точку \( M \) на диагонали \( AC \). Условие \( AM : MC = 1 : 3 \) говорит о том, что точка \( M \) делит отрезок \( AC \) в отношении 1 к 3. Это означает, что \( M \) находится ближе к \( A \), чем к \( C \). Чтобы найти координаты точки \( M \), можно использовать формулу для нахождения точки, делящей отрезок в заданном отношении. В этом случае координаты точки \( M \) можно выразить как \( \vec{M} = \frac{3}{4} \vec{A} + \frac{1}{4} \vec{C} \). Подставляя значения, получаем \( \vec{M} = \frac{3}{4} \cdot \vec{0} + \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b}) \).

Теперь, чтобы найти вектор \( \vec{MC} \), нужно вычесть вектор \( \vec{M} \) из вектора \( \vec{C} \). То есть, \( \vec{MC} = \vec{C} — \vec{M} \). Подставляем известные значения: \( \vec{C} = \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{M} = \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b}) \). Таким образом, имеем \( \vec{MC} = (\vec{a} + \vec{b}) — \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{4}{4} (\vec{a} + \vec{b}) — \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{3}{4} (\vec{a} + \vec{b}) \). Это и есть окончательный ответ.