ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В параллелограмме ABCD точка М середина стороны ВС, \(AB = a\), \(AD = b\). Выразите векторы AM и MD через векторы а и b.

В параллелограмме ABCD, где \( \vec{A} = \vec{0} \), \( \vec{B} = \vec{a} \), \( \vec{D} = \vec{b} \) и \( \vec{C} = \vec{a} + \vec{b} \), находим точку \( M \) как середину отрезка \( BC \). Вычисляем \( \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{a} + (\vec{a} + \vec{b})}{2} = \vec{a} + \frac{\vec{b}}{2} \). Вектор \( \vec{AM} \) определяется как \( \vec{AM} = \vec{M} — \vec{A} = \vec{a} + \frac{\vec{b}}{2} \). Вектор \( \vec{MD} \) равен \( \vec{MD} = \vec{D} — \vec{M} = \vec{b} — \left( \vec{a} + \frac{\vec{b}}{2} \right) = -\vec{a} + \frac{\vec{b}}{2} \). Таким образом, получаем \( \vec{AM} = \vec{a} + \frac{\vec{b}}{2} \) и \( \vec{MD} = -\vec{a} + \frac{\vec{b}}{2} \).

В параллелограмме ABCD, где \( \vec{A} = \vec{0} \), \( \vec{B} = \vec{a} \), \( \vec{D} = \vec{b} \), и \( \vec{C} = \vec{a} + \vec{b} \), точка \( M \) является серединой стороны \( BC \). Чтобы найти вектор \( \vec{M} \), мы используем формулу для нахождения середины отрезка. Сначала найдем координаты точки \( C \):

\[
\vec{C} = \vec{B} + \vec{D} = \vec{a} + \vec{b}
\]

Теперь, чтобы найти координаты точки \( M \), которая является серединой отрезка \( BC \), нам необходимо сложить векторы \( \vec{B} \) и \( \vec{C} \), а затем разделить результат на 2:

\[
\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{a} + (\vec{a} + \vec{b})}{2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{2} = \vec{a} + \frac{\vec{b}}{2}
\]

Теперь мы можем найти вектор \( \vec{AM} \). Вектор \( \vec{AM} \) определяется как разность между вектором \( M \) и вектором \( A \):

\[
\vec{AM} = \vec{M} — \vec{A} = \left( \vec{a} + \frac{\vec{b}}{2} \right) — \vec{0} = \vec{a} + \frac{\vec{b}}{2}
\]

Теперь найдем вектор \( \vec{MD} \). Он определяется как разность между вектором \( D \) и вектором \( M \):

\[
\vec{MD} = \vec{D} — \vec{M} = \vec{b} — \left( \vec{a} + \frac{\vec{b}}{2} \right) = \vec{b} — \vec{a} — \frac{\vec{b}}{2} = -\vec{a} + \frac{\vec{b}}{2}
\]

Таким образом, окончательные выражения для векторов \( \vec{AM} \) и \( \vec{MD} \) будут следующими:

\(\vec{AM} = \vec{a} + \frac{\vec{b}}{2}\)

\(\vec{MD} = -\vec{a} + \frac{\vec{b}}{2}\)