ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС точки М и N середины сторон АВ и ВС соответственно. Выразите: 1) вектор MN через вектор СА; 2) вектор АС через вектор MN

1. \( \vec{MN} = \frac{1}{2} \vec{CA} \)
2. \( \vec{AC} = 2 \vec{MN} \)

В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) являются серединами сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Для начала определим векторы:

\[
\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}
\]

\[
\vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}
\]

Теперь найдем вектор \(\vec{MN}\):

\[
\vec{MN} = \vec{N} — \vec{M} = \left(\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\right) — \left(\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}\right)
\]

Упрощаем выражение:

\[
\vec{MN} = \frac{\vec{B} + \vec{C} — \vec{A} — \vec{B}}{2} = \frac{\vec{C} — \vec{A}}{2}
\]

Таким образом, вектор \(\vec{MN}\) можно выразить через вектор \(\vec{CA}\):

\[
\vec{MN} = \frac{1}{2} \vec{CA}
\]

Теперь выразим вектор \(\vec{AC}\) через вектор \(\vec{MN}\). Из предыдущего результата мы знаем, что:

\[
\vec{MN} = \frac{1}{2} \vec{CA}
\]

Умножим обе стороны на 2:

\[
2 \vec{MN} = \vec{CA}
\]

Таким образом, вектор \(\vec{AC}\) можно выразить через вектор \(\vec{MN}\):

\[
\vec{AC} = 2 \vec{MN}
\]