ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметили соответственно точки М и N так, что AM : MB = AN : NC = 1 : 2. Выразите вектор MN через вектор СВ.
Точки M и N делят стороны AB и AC в отношении 1 к 2, значит \( \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AN} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \). Тогда
\( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} — \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} — \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}) = -\frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC}) =\)
\(= -\frac{1}{3} \overrightarrow{CB} \).
Точки M и N делят стороны AB и AC треугольника ABC в отношении 1 к 2. Это означает, что точка M находится на стороне AB так, что отрезок AM в три раза меньше всего отрезка AB, то есть \( \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \). Аналогично точка N делит сторону AC в том же отношении, следовательно, \( \overrightarrow{AN} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \). Эти равенства показывают, что векторы AM и AN направлены от вершины A к точкам M и N соответственно и равны одной трети векторов AB и AC.
Чтобы найти вектор \( \overrightarrow{MN} \), нужно вычесть вектор \( \overrightarrow{AM} \) из вектора \( \overrightarrow{AN} \), так как \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} — \overrightarrow{AM} \). Подставляя найденные значения, получаем: \( \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} — \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}) \). Это выражение показывает, что вектор MN равен одной трети разности векторов AC и AB.
Далее, вспомним, что вектор \( \overrightarrow{CB} \) можно представить как разность векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \), то есть \( \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} \). Подставляя это в выражение для \( \overrightarrow{MN} \), получаем: \( \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}) = -\frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC}) = -\frac{1}{3} \overrightarrow{CB} \). Таким образом, вектор MN направлен противоположно вектору CB и равен одной трети его длины с обратным направлением.
