ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки О, А и В лежат на одной прямой. Докажите, что существует такое число k, что ОА = kОВ.

Пусть координаты точек \( O \), \( A \), \( B \) на прямой равны 0, \( a \), \( b \) соответственно. Тогда \( OA = |a| \), \( OB = |b| \). Если \( OB \neq 0 \), то \( k = \frac{OA}{OB} = \frac{|a|}{|b|} \), и выполняется \( OA = k \cdot OB \). Если \( OB = 0 \), то \( A = O \) и \( OA = 0 = k \cdot OB \) для любого \( k \). Следовательно, такое число \( k \) существует.

Пусть точки \( O \), \( A \) и \( B \) лежат на одной прямой. Чтобы доказать существование числа \( k \), для начала выберем систему координат так, чтобы точка \( O \) имела координату 0. Это можно сделать без изменения расстояний, так как мы рассматриваем только длины отрезков на прямой. Пусть координаты точек \( A \) и \( B \) будут равны \( a \) и \( b \) соответственно, где \( a, b \in \mathbb{R} \). Тогда расстояния от точки \( O \) до точек \( A \) и \( B \) равны абсолютным значениям координат, то есть \( OA = |a| \) и \( OB = |b| \).

Если \( OB = 0 \), это означает, что точки \( O \) и \( B \) совпадают, то есть \( B = O \). В этом случае длина отрезка \( OB \) равна нулю, и тогда длина \( OA \) тоже должна быть равна нулю, чтобы существовало число \( k \), удовлетворяющее равенству \( OA = k \cdot OB \). Если \( OA = 0 \), то для любого \( k \) равенство выполняется, так как \( 0 = k \cdot 0 \). Если же \( OA \neq 0 \), тогда равенство не имеет смысла, поскольку деление на ноль невозможно. Таким образом, если \( OB = 0 \), то либо \( OA = 0 \), и тогда любое \( k \) подходит, либо равенство не выполняется.

Если же \( OB \neq 0 \), то можно определить число \( k \) как отношение длин отрезков \( OA \) и \( OB \), то есть \( k = \frac{OA}{OB} = \frac{|a|}{|b|} \). Поскольку \( OB \neq 0 \), деление корректно, и \( k \) является действительным числом. Тогда равенство \( OA = k \cdot OB \) выполняется по определению. Таким образом, для любых трех точек \( O \), \( A \), \( B \), лежащих на одной прямой, существует число \( k \), равное отношению длин отрезков, удовлетворяющее условию \( OA = k \cdot OB \).