ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD отметили соответственно точки М и N так, что AM : MB = 1 : 2, BN : NC = 2 : 1. Разложите вектор NM по базису (a; b), где AB = a и AD = b.
Точка \(M\) делит \(AB\) в отношении 1:2, значит \( \vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{a} \).
Точка \(N\) делит \(BC\) в отношении 2:1, значит \( \vec{BN} = \frac{2}{3} \vec{b} \).
Вектор \( \vec{NM} = \vec{OM} — \vec{ON} = \frac{1}{3} \vec{a} — \left(\vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}\right) = -\frac{2}{3} \vec{a} — \frac{2}{3} \vec{b} \).
Параллелограмм \(ABCD\) задан векторами \( \vec{AB} = \vec{a} \) и \( \vec{AD} = \vec{b} \). Поскольку \(M\) лежит на стороне \(AB\), а отношение отрезков \(AM : MB = 1 : 2\), точка \(M\) делит отрезок \(AB\) на три равные части, и \(M\) находится на одной трети пути от \(A\) к \(B\). Вектор от \(A\) до \(M\) равен \( \vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{a} \), так как весь вектор \( \vec{AB} = \vec{a} \). Следовательно, координаты точки \(M\) относительно начала координат (точки \(A\)) — это просто \( \frac{1}{3} \vec{a} \).
Точка \(N\) лежит на стороне \(BC\). В параллелограмме вектор \( \vec{BC} \) равен \( \vec{b} \), так как \( \vec{B} = \vec{a} \) и \( \vec{C} = \vec{a} + \vec{b} \), поэтому \( \vec{BC} = \vec{C} — \vec{B} = \vec{b} \). По условию \(BN : NC = 2 : 1\), то есть \(N\) делит сторону \(BC\) на три части, где \(BN\) занимает две из них. Значит, вектор \( \vec{BN} = \frac{2}{3} \vec{b} \). Тогда координаты точки \(N\) будут \( \vec{ON} = \vec{OB} + \vec{BN} = \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} \).
Вектор \( \vec{NM} \) можно найти как разность координат точек \(M\) и \(N\), то есть \( \vec{NM} = \vec{OM} — \vec{ON} \). Подставляя выражения для \( \vec{OM} \) и \( \vec{ON} \), получаем \( \vec{NM} = \frac{1}{3} \vec{a} — \left( \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} \right) = \frac{1}{3} \vec{a} — \vec{a} — \frac{2}{3} \vec{b} = -\frac{2}{3} \vec{a} — \frac{2}{3} \vec{b} \). Таким образом, вектор \( \vec{NM} \) выражается через базисные векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) с коэффициентами \( -\frac{2}{3} \) для каждого.
