ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки E и F так, что BE : EC = 3 : 1, CF : FD = 1 : 3. Разложите вектор EF по базису (a; b), где AB = a и AD = b.
Векторы: \( \vec{a} = \overrightarrow{AB} \), \( \vec{b} = \overrightarrow{AD} \). Точка \( E \) делит \( BC \) в отношении \( 3:1 \), значит \( \vec{E} = \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \). Точка \( F \) делит \( CD \) в отношении \( 1:3 \), значит \( \vec{F} = \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b} \). Тогда
\( \overrightarrow{EF} = \vec{F} — \vec{E} = \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b} — \left(\vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}\right) = -\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \).
Рассмотрим параллелограмм \( ABCD \) с векторами \( \vec{a} = \overrightarrow{AB} \) и \( \vec{b} = \overrightarrow{AD} \). В параллелограмме стороны \( BC \) и \( AD \) параллельны и равны по длине, то есть \( \overrightarrow{BC} = \vec{b} \). Точка \( E \) лежит на стороне \( BC \) и делит её в отношении \( BE : EC = 3 : 1 \). Это значит, что \( E \) находится на расстоянии \( \frac{3}{4} \) длины от точки \( B \) к точке \( C \). Координаты точки \( B \) в системе отсчёта с началом в точке \( A \) равны \( \vec{a} \), а точки \( C \) — \( \vec{a} + \vec{b} \). Тогда координаты точки \( E \) можно выразить как \( \vec{E} = \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \).
Теперь рассмотрим точку \( F \), которая лежит на стороне \( CD \) и делит её в отношении \( CF : FD = 1 : 3 \). Вектор \( \overrightarrow{CD} \) равен \( \vec{d} — \vec{c} = \vec{b} — (\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} \). Это происходит потому, что \( D \) — это точка, соответствующая вектору \( \vec{b} \), а \( C \) — \( \vec{a} + \vec{b} \). Так как \( F \) делит отрезок \( CD \) в отношении \( 1 : 3 \), то вектор \( \overrightarrow{CF} \) равен \( \frac{1}{4} \overrightarrow{CD} = -\frac{1}{4} \vec{a} \). Следовательно, координаты точки \( F \) равны \( \vec{F} = \vec{C} + \overrightarrow{CF} = (\vec{a} + \vec{b}) — \frac{1}{4} \vec{a} = \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b} \).
Чтобы найти вектор \( \overrightarrow{EF} \), нужно вычесть координаты точки \( E \) из координат точки \( F \): \( \overrightarrow{EF} = \vec{F} — \vec{E} = \left( \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b} \right) — \left( \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \right) \). Раскроем скобки и сгруппируем по векторам \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \): \( \overrightarrow{EF} = \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b} — \vec{a} — \frac{3}{4} \vec{b} = \left( \frac{3}{4} — 1 \right) \vec{a} + \left( 1 — \frac{3}{4} \right) \vec{b} = -\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \). Таким образом, вектор \( \overrightarrow{EF} \) равен \( -\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \), что показывает, что он направлен в сторону, противоположную вектору \( \vec{a} \), и в сторону \( \vec{b} \), с равными по модулю долями.
