ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что векторы AB и CD коллинеарны, если А (1; 1), B (3; -2), C (-1; 3), D (5; -6).

Векторы \( \overrightarrow{AB} = (3-1, -2-1) = (2, -3) \) и \( \overrightarrow{CD} = (5+1, -6-3) = (6, -9) \). Проверяем отношение координат: \( \frac{2}{6} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3} \), значит векторы коллинеарны.

Векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) определяются как разности координат конечной и начальной точек. Для вектора \( \overrightarrow{AB} \) вычисляем координаты: \( x_B — x_A = 3 — 1 = 2 \) и \( y_B — y_A = -2 — 1 = -3 \), поэтому \( \overrightarrow{AB} = (2, -3) \). Аналогично для \( \overrightarrow{CD} \): \( x_D — x_C = 5 — (-1) = 6 \) и \( y_D — y_C = -6 — 3 = -9 \), значит \( \overrightarrow{CD} = (6, -9) \).

Чтобы проверить, коллинеарны ли два вектора, нужно выяснить, существует ли число \( \lambda \), при котором выполняется равенство \( \overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{CD} \). Это означает, что координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Для этого сравниваем отношения соответствующих координат: \( \frac{2}{6} \) и \( \frac{-3}{-9} \). Вычислим каждое отношение: \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) и \( \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3} \). Поскольку эти дроби равны, отношение между координатами действительно одинаковое.

Таким образом, векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) лежат на одной прямой, то есть коллинеарны. Это подтверждается тем, что один вектор можно получить умножением другого на скаляр \( \lambda = \frac{1}{3} \). Коллинеарность векторов означает, что они направлены вдоль одной линии, либо в одном направлении, либо в противоположном, что и подтверждается равенством пропорций их координат.