ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значения \( x \), при которых векторы \( \vec{a}(1; x) \) и \( \vec{b}\left(\frac{x}{4}; 4\right) \) коллинеарны.

Векторы коллинеарны, если \(\frac{1}{\frac{x}{4}} = \frac{x}{4}\). Это даёт уравнение \(\frac{4}{x} = \frac{x}{4}\), откуда \(16 = x^2\). Следовательно, \(x = 4\) или \(x = -4\).

Для того чтобы определить, при каких значениях \(x\) векторы \(\vec{a}(1; x)\) и \(\vec{b}\left(\frac{x}{4}; 4\right)\) коллинеарны, нужно понять, что коллинеарность означает пропорциональность соответствующих координат этих векторов. Это значит, что существует число \(\lambda\), такое что первая координата вектора \(\vec{a}\) равна \(\lambda\) умноженному на первую координату вектора \(\vec{b}\), и вторая координата вектора \(\vec{a}\) равна \(\lambda\) умноженному на вторую координату вектора \(\vec{b}\). Запишем это условие: \(1 = \lambda \cdot \frac{x}{4}\) и \(x = \lambda \cdot 4\).

Если выразить \(\lambda\) из первого уравнения, получаем \(\lambda = \frac{4}{x}\). Подставим это значение во второе уравнение: \(x = \frac{4}{x} \cdot 4\). Умножив правую часть, получаем \(x = \frac{16}{x}\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на \(x\): \(x \cdot x = 16\), то есть \(x^2 = 16\).

Решая уравнение \(x^2 = 16\), получаем два корня: \(x = 4\) и \(x = -4\). Эти значения \(x\) удовлетворяют условию коллинеарности векторов, так как при них координаты векторов пропорциональны, и один вектор является масштабированным вариантом другого. Таким образом, ответ: \(x = 4\) или \(x = -4\).