ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан вектор b (-3; 1). Найдите координаты вектора, коллинеарного вектору n, модуль которого в два раза больше модуля вектора b. Сколько решений имеет задача?

Дан вектор \( \mathbf{b} = (-3, 1) \). Модуль \( |\mathbf{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10} \). Вектор \( \mathbf{n} \) коллинеарен \( \mathbf{b} \), значит \( \mathbf{n} = k \mathbf{b} \). По условию \( |\mathbf{n}| = 2 |\mathbf{b}| \), тогда \( |k| \sqrt{10} = 2 \sqrt{10} \), откуда \( |k| = 2 \). Следовательно, \( \mathbf{n} = (-6, 2) \) или \( \mathbf{n} = (6, -2) \). Решений 2.

Вектор \( \mathbf{b} \) задан координатами \( (-3, 1) \). Чтобы найти модуль этого вектора, нужно вычислить квадратный корень из суммы квадратов его координат. То есть \( |\mathbf{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \). Модуль показывает длину вектора, и это важно для того, чтобы сравнивать величины векторов и находить коллинеарные векторы с заданной длиной.

Вектор \( \mathbf{n} \) должен быть коллинеарен вектору \( \mathbf{b} \), значит он должен иметь тот же или противоположный направление, то есть можно записать \( \mathbf{n} = k \mathbf{b} \), где \( k \) — некоторое число. Здесь \( k \) — скаляр, который изменяет длину вектора \( \mathbf{b} \), сохраняя направление или меняя его на противоположное, если \( k \) отрицательное. Это свойство коллинеарности векторов очень удобно, так как позволяет работать с одним вектором и менять его длину с помощью множителя.

По условию задачи, модуль вектора \( \mathbf{n} \) должен быть в два раза больше модуля вектора \( \mathbf{b} \). Запишем это как \( |\mathbf{n}| = 2 |\mathbf{b}| \). Подставим выражение для \( \mathbf{n} \): \( |\mathbf{n}| = |k| |\mathbf{b}| \). Тогда получаем уравнение \( |k| \sqrt{10} = 2 \sqrt{10} \), откуда следует, что \( |k| = 2 \). Значит, \( k \) может быть либо 2, либо -2. Соответственно, координаты вектора \( \mathbf{n} \) будут \( (-3 \cdot 2, 1 \cdot 2) = (-6, 2) \) или \( (-3 \cdot (-2), 1 \cdot (-2)) = (6, -2) \). Таким образом, ответ содержит два вектора, которые удовлетворяют условию задачи.