ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами \(A (-1; 2)\), \(B (3; 5)\), \(C (14; 6)\), \(D (2; -3)\) является трапецией.

Параллельность сторон проверяем через векторы: \(\overrightarrow{AB} = (4, 3)\), \(\overrightarrow{CD} = (-12, -9)\). Отношения координат равны: \(\frac{4}{-12} = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}\), значит \(AB \parallel CD\). Следовательно, четырёхугольник \(ABCD\) — трапеция.

Чтобы доказать, что четырёхугольник \(ABCD\) является трапецией, необходимо показать, что у него есть хотя бы одна пара противоположных сторон, которые параллельны. Для этого рассмотрим координаты вершин: \(A(-1; 2)\), \(B(3; 5)\), \(C(14; 6)\), \(D(2; -3)\). Сначала найдём векторы, соответствующие сторонам четырёхугольника. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) вычисляется как разность координат точки \(B\) и точки \(A\), то есть \( \overrightarrow{AB} = (3 — (-1); 5 — 2) = (4; 3) \). Аналогично, вектор \( \overrightarrow{CD} \) равен \( (2 — 14; -3 — 6) = (-12; -9) \).

Для того чтобы стороны \(AB\) и \(CD\) были параллельны, их векторы должны быть коллинеарны, то есть один вектор должен быть пропорционален другому. Проверим это, найдя отношение соответствующих координат: \(\frac{4}{-12} = -\frac{1}{3}\) и \(\frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}\). Поскольку эти отношения равны, векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) действительно коллинеарны, что означает, что стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны.

Поскольку в четырёхугольнике \(ABCD\) есть одна пара противоположных сторон, которые параллельны, то по определению этот четырёхугольник является трапецией. Таким образом, доказано, что \(ABCD\) — трапеция, так как выполнено условие существования хотя бы одной пары параллельных сторон.