ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) отметили точку \(M\) так, что \(AM : MC = 2 : 3\). Докажите, что \(BM = BA + \frac{2}{3}BC\).

Пусть \( \overrightarrow{BA} = \mathbf{a} \), \( \overrightarrow{BC} = \mathbf{c} \). Точка \( M \) делит \( AC \) в отношении \( 2:3 \), значит \( \overrightarrow{AM} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AC} \). Тогда

\( \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = \mathbf{a} + \frac{2}{5}(\overrightarrow{AC}) = \mathbf{a} + \frac{2}{5}(-\mathbf{a} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} — \frac{2}{5}\mathbf{a} + \frac{2}{5}\mathbf{c} = \frac{3}{5} \mathbf{a} + \)
\(+\frac{2}{5} \mathbf{c} \).

Таким образом, \( \overrightarrow{BM} = \frac{3}{5} \overrightarrow{BA} + \frac{2}{5} \overrightarrow{BC} \), а не \( \overrightarrow{BA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \) и точку \( M \) на стороне \( AC \), которая делит этот отрезок в отношении \( AM : MC = 2 : 3 \). Это значит, что длина отрезка \( AM \) составляет \(\frac{2}{5}\) всей длины отрезка \( AC \), а \( MC \) — \(\frac{3}{5}\) длины \( AC \). Чтобы выразить вектор \( \overrightarrow{BM} \) через векторы \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \), введём векторные обозначения: пусть \( \overrightarrow{BA} = \mathbf{a} \), а \( \overrightarrow{BC} = \mathbf{c} \).

Вектор \( \overrightarrow{BM} \) можно представить как сумму векторов \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{AM} \), то есть \( \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} \). Поскольку точка \( M \) лежит на отрезке \( AC \), то вектор \( \overrightarrow{AM} \) направлен от точки \( A \) к точке \( C \) и равен части вектора \( \overrightarrow{AC} \), а именно \( \overrightarrow{AM} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AC} \). При этом вектор \( \overrightarrow{AC} \) можно выразить через \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \), используя соотношение \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \). Поскольку \( \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA} = -\mathbf{a} \), получаем \( \overrightarrow{AC} = -\mathbf{a} + \mathbf{c} \).

Подставляя это в выражение для \( \overrightarrow{BM} \), получаем \( \overrightarrow{BM} = \mathbf{a} + \frac{2}{5}(-\mathbf{a} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} — \frac{2}{5} \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{c} = \frac{3}{5} \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{c} \). Таким образом, вектор \( \overrightarrow{BM} \) выражается как линейная комбинация векторов \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \) с коэффициентами \(\frac{3}{5}\) и \(\frac{2}{5}\) соответственно. Это показывает, что \( \overrightarrow{BM} \) не равен \( \overrightarrow{BA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} \), как утверждается в условии, а имеет другую форму.

Итогом является формула \( \overrightarrow{BM} = \frac{3}{5} \overrightarrow{BA} + \frac{2}{5} \overrightarrow{BC} \), которая точно отражает положение точки \( M \) на стороне \( AC \) и соотношение длин отрезков \( AM \) и \( MC \). Это выражение важно для понимания геометрических свойств треугольника и векторного анализа, так как позволяет однозначно определить координаты точки \( M \) через известные векторы \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \).