ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.37 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) отметили точку \(D\) так, что \(BD : DC = 1 : 2\). Докажите, что \(AD = \frac{2}{3}AB + \frac{1}{3}AC\).

Пусть \( \vec{AB} = \vec{b} \), \( \vec{AC} = \vec{c} \). Тогда \( \vec{D} = \vec{B} + \frac{1}{3}(\vec{C} — \vec{B}) = \frac{2}{3}\vec{B} + \frac{1}{3}\vec{C} = \frac{2}{3}(\vec{A} + \vec{b}) + \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{c}) = \vec{A} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} \). Следовательно, \( \vec{AD} = \vec{D} — \vec{A} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \) с точкой \( D \), лежащей на стороне \( BC \) так, что отношение отрезков \( BD : DC = 1 : 2 \). Для удобства введём векторы: пусть \( \vec{AB} = \vec{b} \), а \( \vec{AC} = \vec{c} \). Тогда координаты точек \( B \) и \( C \) относительно точки \( A \) можно записать как \( \vec{B} = \vec{A} + \vec{b} \) и \( \vec{C} = \vec{A} + \vec{c} \). Это значит, что вектор \( \vec{b} \) направлен от \( A \) к \( B \), а вектор \( \vec{c} \) — от \( A \) к \( C \).

Поскольку точка \( D \) лежит на отрезке \( BC \), её положение можно выразить через параметр \( \lambda \) как \( \vec{D} = \vec{B} + \lambda (\vec{C} — \vec{B}) \), где \( \lambda \) — доля длины отрезка \( BC \), отложенная от точки \( B \) до точки \( D \). Из условия \( BD : DC = 1 : 2 \) следует, что \( D \) делит отрезок \( BC \) на три равные части и находится на одной трети пути от \( B \) к \( C \), то есть \( \lambda = \frac{1}{3} \). Подставляя это значение, получаем \( \vec{D} = \vec{B} + \frac{1}{3} (\vec{C} — \vec{B}) = \frac{2}{3} \vec{B} + \frac{1}{3} \vec{C} \).

Далее подставим выражения для \( \vec{B} \) и \( \vec{C} \) через \( \vec{A} \), \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \): \( \vec{D} = \frac{2}{3} (\vec{A} + \vec{b}) + \frac{1}{3} (\vec{A} + \vec{c}) = \frac{2}{3} \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{A} + \frac{1}{3} \vec{c} = \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c} \). Вектор \( \vec{AD} \) равен разности \( \vec{D} — \vec{A} \), то есть \( \vec{AD} = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c} \), что эквивалентно \( \vec{AD} = \frac{2}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC} \). Таким образом, мы выразили вектор \( AD \) через векторы сторон треугольника с нужными коэффициентами.