ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В параллелограмме \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\). На стороне \(BC\) отметили точку \(K\) так, что \(BK : KC = 2 : 3\). Разложите вектор \(OK\) по базису \((a; b)\), где \(AB = a\) и \(AD = b\).

Вектор \( \overrightarrow{OK} = K — O \), где \( O = \frac{A + C}{2} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2} \), \( K = B + \frac{2}{5}(C — B) = \mathbf{a} + \frac{2}{5}\mathbf{b} \). Тогда

\( \overrightarrow{OK} = \mathbf{a} + \frac{2}{5}\mathbf{b} — \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2} = \frac{1}{2}\mathbf{a} — \frac{1}{10}\mathbf{b} \).

Пусть параллелограмм имеет вершины \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) с векторами сторон \( \mathbf{a} = \overrightarrow{AB} \) и \( \mathbf{b} = \overrightarrow{AD} \). Тогда точка \( A \) считается началом координат, то есть \( \mathbf{0} \), точка \( B \) имеет координаты \( \mathbf{a} \), точка \( D \) — \( \mathbf{b} \), а точка \( C \), как сумма векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), равна \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \).

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке \( O \), которая является серединой отрезка \( AC \). Это значит, что координаты точки \( O \) можно найти как среднее арифметическое координат точек \( A \) и \( C \), то есть \( O = \frac{A + C}{2} = \frac{\mathbf{0} + (\mathbf{a} + \mathbf{b})}{2} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2} \). Таким образом, вектор \( \overrightarrow{AO} \) равен \( \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2} \).

Точка \( K \) лежит на стороне \( BC \) и делит её в отношении \( BK : KC = 2 : 3 \). Чтобы найти координаты точки \( K \), используем формулу деления отрезка в заданном отношении. Вектор \( \overrightarrow{BC} = \mathbf{c} — \mathbf{b} = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) — \mathbf{a} = \mathbf{b} \). Тогда

\( K = B + \frac{2}{2+3} \overrightarrow{BC} = \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{b} \).

Вектор \( \overrightarrow{OK} \) равен разности координат \( K \) и \( O \), то есть

\( \overrightarrow{OK} = K — O = \left( \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{b} \right) — \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2} = \mathbf{a} + \frac{2}{5} \mathbf{b} — \frac{1}{2} \mathbf{a} — \frac{1}{2} \mathbf{b} = \left(1 — \frac{1}{2}\right) \mathbf{a} + ( \frac{2}{5} -\)
\(- \frac{1}{2} ) \mathbf{b} = \frac{1}{2} \mathbf{a} — \frac{1}{10} \mathbf{b} \).